Номер 749, страница 194 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 1. Понятие вектора - номер 749, страница 194.

Условие.

749. Точки $S$ и $T$ являются серединами боковых сторон $MN$ и $LK$ равнобедренной трапеции $MNLK$. Равны ли векторы:

а) $\vec{NL}$ и $\vec{KL}$;

б) $\vec{MS}$ и $\vec{SN}$;

в) $\vec{MN}$ и $\vec{KL}$;

г) $\vec{TS}$ и $\vec{KM}$;

д) $\vec{TL}$ и $\vec{KT}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для того чтобы два вектора были равны, необходимо, чтобы они были сонаправлены (т.е. лежали на параллельных прямых или на одной прямой и были направлены в одну сторону) и имели одинаковую длину (модуль).

В равнобедренной трапеции MNLK боковые стороны — это MN и LK, а основания — ML и NK. По определению трапеции $ML || NK$. Так как трапеция равнобедренная, то длины её боковых сторон равны: $|MN| = |LK|$. Точка S — середина MN, а точка T — середина LK.

а) $\vec{NL}$ и $\vec{KL}$

Данные векторы имеют общий конец в точке L, но выходят из разных точек N и K. Поскольку точки N, K, L являются вершинами трапеции и не лежат на одной прямой, то прямые NL и KL пересекаются. Это означает, что векторы $\vec{NL}$ и $\vec{KL}$ не являются коллинеарными. Следовательно, они не могут быть равны.

Ответ: не равны.

б) $\vec{MS}$ и $\vec{SN}$

По условию, точка S — середина боковой стороны MN. Это означает, что:

1. Точки M, S и N лежат на одной прямой, значит векторы $\vec{MS}$ и $\vec{SN}$ коллинеарны.
2. Вектор $\vec{MS}$ направлен от M к S, а вектор $\vec{SN}$ — от S к N. Так как S находится между M и N, оба вектора направлены в одну сторону (сонаправлены).
3. Так как S — середина отрезка MN, то длины отрезков MS и SN равны: $|MS| = |SN|$. Следовательно, равны и модули векторов: $|\vec{MS}| = |\vec{SN}|$.

Поскольку векторы сонаправлены и их модули равны, они равны.

Ответ: равны.

в) $\vec{MN}$ и $\vec{KL}$

Векторы $\vec{MN}$ и $\vec{KL}$ лежат на боковых сторонах трапеции. В любой трапеции боковые стороны не параллельны (иначе фигура была бы параллелограммом). Раз прямые MN и KL не параллельны, то векторы $\vec{MN}$ и $\vec{KL}$ не коллинеарны. Следовательно, они не равны, несмотря на то что в равнобедренной трапеции их модули равны ($|\vec{MN}| = |\vec{KL}|$).

Ответ: не равны.

г) $\vec{TS}$ и $\vec{KM}$

Отрезок ST соединяет середины боковых сторон трапеции, следовательно, ST является средней линией трапеции. По свойству средней линии, она параллельна основаниям: $ST || ML$ и $ST || NK$. Значит, вектор $\vec{TS}$ также параллелен основаниям трапеции. Вектор $\vec{KM}$ является диагональю трапеции и соединяет вершины K и M, которые лежат на разных основаниях. Диагональ трапеции не параллельна её основаниям. Так как вектор $\vec{TS}$ параллелен основаниям, а вектор $\vec{KM}$ не параллелен им, эти векторы не коллинеарны и, следовательно, не равны.

Ответ: не равны.

д) $\vec{TL}$ и $\vec{KT}$

По условию, точка T — середина боковой стороны LK. Это означает, что:

1. Точки K, T и L лежат на одной прямой, значит векторы $\vec{TL}$ и $\vec{KT}$ коллинеарны.
2. Вектор $\vec{TL}$ направлен от T к L, а вектор $\vec{KT}$ — от K к T. Так как T находится между K и L, оба вектора направлены в одну сторону (в направлении от K к L). Они сонаправлены.
3. Так как T — середина отрезка LK, то длины отрезков KT и TL равны: $|KT| = |TL|$. Следовательно, равны и модули векторов: $|\vec{KT}| = |\vec{TL}|$.

Поскольку векторы сонаправлены и их модули равны, они равны.

Ответ: равны.