Номер 750, страница 194 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 1. Понятие вектора - номер 750, страница 194.

Условие.

750. Докажите, что если векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны, то середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают, то $\vec{AB}=\vec{CD}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Эта задача состоит из двух частей: доказательства прямого и обратного утверждений.

Доказательство того, что если векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ равны, то середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают.

Пусть $A, B, C, D$ – произвольные точки. Введем радиус-векторы этих точек относительно некоторого начала координат $O$: $\vec{a} = \overrightarrow{OA}$, $\vec{b} = \overrightarrow{OB}$, $\vec{c} = \overrightarrow{OC}$, $\vec{d} = \overrightarrow{OD}$.
Выразим векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ через радиус-векторы их концов и начал:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \vec{b} - \vec{a}$
$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC} = \vec{d} - \vec{c}$

По условию, векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ равны:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$
Это означает, что $\vec{b} - \vec{a} = \vec{d} - \vec{c}$.

Перегруппируем слагаемые в этом равенстве, чтобы с одной стороны оказались векторы, относящиеся к отрезку $AD$, а с другой — к отрезку $BC$:
$\vec{a} + \vec{d} = \vec{b} + \vec{c}$

Пусть $M$ — середина отрезка $AD$, а $N$ — середина отрезка $BC$. Радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов. Следовательно, радиус-векторы точек $M$ и $N$ равны:
$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2}$
$\vec{n} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$

Так как мы ранее получили, что $\vec{a} + \vec{d} = \vec{b} + \vec{c}$, мы можем разделить обе части этого равенства на 2:
$\frac{\vec{a} + \vec{d}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$
Отсюда следует, что $\vec{m} = \vec{n}$.

Равенство радиус-векторов означает, что точки $M$ и $N$ совпадают. Таким образом, середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

Доказательство обратного утверждения: если середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают, то $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

Пусть середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают в точке $M$. Используем те же обозначения для радиус-векторов точек $A, B, C, D$, что и в первой части.

Поскольку $M$ является серединой отрезка $AD$, ее радиус-вектор $\vec{m}$ можно выразить как:
$\vec{m} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2}$

Аналогично, поскольку $M$ является серединой отрезка $BC$, ее радиус-вектор $\vec{m}$ также равен:
$\vec{m} = \frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$

Приравнивая два выражения для радиус-вектора $\vec{m}$, получаем:
$\frac{\vec{a} + \vec{d}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$

Умножим обе части равенства на 2:
$\vec{a} + \vec{d} = \vec{b} + \vec{c}$

Теперь перегруппируем слагаемые так, чтобы получить выражения для векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$:
$\vec{b} - \vec{a} = \vec{d} - \vec{c}$

По определению, $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ и $\overrightarrow{CD} = \vec{d} - \vec{c}$.
Следовательно, мы получили равенство $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.