Номер 746, страница 194 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 1. Понятие вектора - номер 746, страница 194.

Условие.

746 Основание AD прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом A равно 12 см, $AB=5$ см, $\angle D=45^\circ$. Найдите длины векторов $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{AC}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Построим прямоугольную трапецию $ABCD$ согласно условию: $AD$ и $BC$ — основания, $\angle A = 90^\circ$, $AD = 12$ см, $AB = 5$ см, $\angle D = 45^\circ$. Длина вектора равна длине соответствующего ему отрезка.

Для нахождения длин сторон и диагоналей трапеции выполним дополнительное построение. Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$.

Так как $ABCD$ — трапеция, то ее основания параллельны: $BC \parallel AD$. Поскольку $AB$ — боковая сторона, перпендикулярная основанию $AD$ ($\angle A = 90^\circ$), то $AB$ также перпендикулярна и $BC$. Следовательно, фигура $ABCH$ является прямоугольником. Из этого следует, что $CH = AB = 5$ см и $BC = AH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CHD$ ($\angle CHD = 90^\circ$). По условию $\angle D = 45^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle HCD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Так как два угла в треугольнике $\triangle CHD$ равны, он является равнобедренным, и его катеты равны: $HD = CH = 5$ см.

Теперь мы можем найти длину отрезка $AH$ и основания $BC$.
$AD = AH + HD$
$12 = AH + 5$
$AH = 12 - 5 = 7$ см.
Так как $BC = AH$, то $BC = 7$ см.

Теперь, зная все необходимые размеры, найдем длины искомых векторов.

$\vec{BD}$
Длина вектора $\vec{BD}$ равна длине диагонали $BD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABD$ ($\angle A = 90^\circ$) с катетами $AB = 5$ см и $AD = 12$ см. По теореме Пифагора:
$|\vec{BD}|^2 = BD^2 = AB^2 + AD^2$
$|\vec{BD}|^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
$|\vec{BD}| = \sqrt{169} = 13$ см.
Ответ: $|\vec{BD}| = 13$ см.

$\vec{CD}$
Длина вектора $\vec{CD}$ равна длине боковой стороны $CD$. Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник $\triangle CHD$ с катетами $CH = 5$ см и $HD = 5$ см. По теореме Пифагора:
$|\vec{CD}|^2 = CD^2 = CH^2 + HD^2$
$|\vec{CD}|^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$
$|\vec{CD}| = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ см.
Ответ: $|\vec{CD}| = 5\sqrt{2}$ см.

$\vec{AC}$
Длина вектора $\vec{AC}$ равна длине диагонали $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACH$ ($\angle AHC = 90^\circ$) с катетами $AH = 7$ см и $CH = 5$ см. По теореме Пифагора:
$|\vec{AC}|^2 = AC^2 = AH^2 + CH^2$
$|\vec{AC}|^2 = 7^2 + 5^2 = 49 + 25 = 74$
$|\vec{AC}| = \sqrt{74}$ см.
Ответ: $|\vec{AC}| = \sqrt{74}$ см.