Номер 758, страница 200 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 2. Сложение и вычитание векторов - номер 758, страница 200.

Условие.

758 Начертите два ненулевых коллинеарных вектора $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ так, чтобы $ |\vec{a}| \neq |\vec{b}| $. Постройте векторы:

а) $ \vec{a} - \vec{b} $

б) $ \vec{b} - \vec{a} $

в) $ -\vec{a} + \vec{b} $

Выполните ещё раз построение для случая, когда $ |\vec{a}| = |\vec{b}| $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Коллинеарные векторы – это векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Они могут быть сонаправлены (направлены в одну сторону) или противоположно направлены (направлены в противоположные стороны).

Рассмотрим построение для двух основных случаев.

Построение для случая, когда $|\vec{a}| \neq |\vec{b}|$

Пусть для определённости $|\vec{a}| > |\vec{b}|$.

1. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$)

Начертим два сонаправленных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ из одной точки O. Пусть $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$. Так как $|\vec{a}| > |\vec{b}|$, точка B будет лежать на отрезке OA.

а) $\vec{a} - \vec{b}$
Разность векторов $\vec{a} - \vec{b}$ – это вектор, равный сумме $\vec{a} + (-\vec{b})$. Вектор $-\vec{b}$ противоположен вектору $\vec{b}$. Чтобы построить искомый вектор, отложим от точки A (конец вектора $\vec{a}$) вектор, равный $-\vec{b}$. Его конец попадёт в точку B. Искомый вектор будет $\vec{OB}$, но так как векторы коллинеарны, удобнее отложить их от одной точки. Отложим от точки О вектор $\vec{a}$ и от точки О же отложим вектор $-\vec{b}$. Вектор $-\vec{b}$ будет противоположен $\vec{a}$. Сумма этих векторов будет вектором, начало которого в О, а конец — в точке, соответствующей разности длин. Вектор $\vec{a} - \vec{b}$ будет сонаправлен с вектором $\vec{a}$ и его модуль будет равен разности модулей: $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| - |\vec{b}|$.
Ответ: Вектор $\vec{a} - \vec{b}$ сонаправлен с вектором $\vec{a}$ и его модуль равен $|\vec{a}| - |\vec{b}|$.

б) $\vec{b} - \vec{a}$
Этот вектор равен $-(\vec{a} - \vec{b})$. Следовательно, он будет противоположен вектору, полученному в пункте а). Вектор $\vec{b} - \vec{a}$ будет противоположен вектору $\vec{a}$ (и вектору $\vec{b}$), и его модуль будет равен $|\vec{b} - \vec{a}| = |\vec{a}| - |\vec{b}|$.
Ответ: Вектор $\vec{b} - \vec{a}$ противоположен вектору $\vec{a}$ и его модуль равен $|\vec{a}| - |\vec{b}|$.

в) $-\vec{a} + \vec{b}$
Этот вектор равен вектору $\vec{b} - \vec{a}$. Построение и результат будут идентичны пункту б).
Ответ: Вектор $-\vec{a} + \vec{b}$ противоположен вектору $\vec{a}$ и его модуль равен $|\vec{a}| - |\vec{b}|$.

2. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$)

Начертим векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ из одной точки O в противоположных направлениях.

а) $\vec{a} - \vec{b}$
Строим вектор $\vec{a} + (-\vec{b})$. Так как $\vec{b}$ и $\vec{a}$ противоположно направлены, то $-\vec{b}$ и $\vec{a}$ будут сонаправлены. Сложение двух сонаправленных векторов дает вектор, сонаправленный с ними, модуль которого равен сумме модулей. Вектор $\vec{a} - \vec{b}$ будет сонаправлен с вектором $\vec{a}$, и его модуль будет равен $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$.
Ответ: Вектор $\vec{a} - \vec{b}$ сонаправлен с вектором $\vec{a}$ и его модуль равен $|\vec{a}| + |\vec{b}|$.

б) $\vec{b} - \vec{a}$
Строим вектор $\vec{b} + (-\vec{a})$. Векторы $\vec{b}$ и $-\vec{a}$ сонаправлены. Вектор $\vec{b} - \vec{a}$ будет сонаправлен с вектором $\vec{b}$, и его модуль будет равен $|\vec{b} - \vec{a}| = |\vec{b}| + |\vec{a}|$. Этот вектор противоположен вектору из пункта а).
Ответ: Вектор $\vec{b} - \vec{a}$ сонаправлен с вектором $\vec{b}$ и его модуль равен $|\vec{b}| + |\vec{a}|$.

в) $-\vec{a} + \vec{b}$
Этот вектор равен вектору $\vec{b} - \vec{a}$. Построение и результат будут идентичны пункту б).
Ответ: Вектор $-\vec{a} + \vec{b}$ сонаправлен с вектором $\vec{b}$ и его модуль равен $|\vec{b}| + |\vec{a}|$.

---

Построение для случая, когда $|\vec{a}| = |\vec{b}|$

1. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$)

Если векторы сонаправлены и их модули равны, то векторы равны: $\vec{a} = \vec{b}$.

а) $\vec{a} - \vec{b}$
$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$. Результатом является нулевой вектор.
Ответ: Вектор $\vec{a} - \vec{b}$ является нулевым вектором ($\vec{0}$).

б) $\vec{b} - \vec{a}$
$\vec{b} - \vec{a} = \vec{b} - \vec{b} = \vec{0}$. Результатом является нулевой вектор.
Ответ: Вектор $\vec{b} - \vec{a}$ является нулевым вектором ($\vec{0}$).

в) $-\vec{a} + \vec{b}$
$-\vec{a} + \vec{b} = -\vec{a} + \vec{a} = \vec{0}$. Результатом является нулевой вектор.
Ответ: Вектор $-\vec{a} + \vec{b}$ является нулевым вектором ($\vec{0}$).

2. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$)

Если векторы противоположно направлены и их модули равны, то один вектор является противоположным другому: $\vec{b} = -\vec{a}$.

а) $\vec{a} - \vec{b}$
$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} - (-\vec{a}) = \vec{a} + \vec{a} = 2\vec{a}$. Результирующий вектор сонаправлен с вектором $\vec{a}$ и его модуль в два раза больше.
Ответ: Вектор $\vec{a} - \vec{b}$ сонаправлен с вектором $\vec{a}$ и его модуль равен $2|\vec{a}|$.

б) $\vec{b} - \vec{a}$
$\vec{b} - \vec{a} = (-\vec{a}) - \vec{a} = -2\vec{a}$. Результирующий вектор противоположен вектору $\vec{a}$ (т.е. сонаправлен с $\vec{b}$) и его модуль в два раза больше.
Ответ: Вектор $\vec{b} - \vec{a}$ противоположен вектору $\vec{a}$ и его модуль равен $2|\vec{a}|$.

в) $-\vec{a} + \vec{b}$
$-\vec{a} + \vec{b} = -\vec{a} + (-\vec{a}) = -2\vec{a}$. Результат идентичен пункту б).
Ответ: Вектор $-\vec{a} + \vec{b}$ противоположен вектору $\vec{a}$ и его модуль равен $2|\vec{a}|$.