Номер 762, страница 200 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 2. Сложение и вычитание векторов - номер 762, страница 200.

Условие.

762 Сторона равностороннего треугольника ABC равна a. Найдите:

а) $|\vec{AB} + \vec{BC}|$;

б) $|\vec{AB} + \vec{AC}|$;

в) $|\vec{AB} + \vec{CB}|$;

г) $|\vec{BA} - \vec{BC}|$;

д) $|\vec{AB} - \vec{AC}|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ по правилу треугольника (так как начало второго вектора совпадает с концом первого) равна вектору $\vec{AC}$.

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Модуль вектора $\vec{AC}$ равен длине стороны $AC$ равностороннего треугольника, то есть $a$.

$|\vec{AB} + \vec{BC}| = |\vec{AC}| = a$

Ответ: $a$

б)

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ выходят из одной точки $A$. Угол между ними равен углу $\angle BAC = 60^\circ$. Модуль их суммы найдем по теореме косинусов для векторов:

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 + 2 \cdot |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(60^\circ)$

Подставляем известные значения $|\vec{AB}|=a$, $|\vec{AC}|=a$ и $\cos(60^\circ) = 1/2$:

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = a^2 + a^2 + 2 \cdot a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = 2a^2 + a^2 = 3a^2$

Следовательно, модуль вектора равен:

$|\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Ответ: $a\sqrt{3}$

в)

Используем свойство коммутативности (переместительности) сложения векторов: $\vec{AB} + \vec{CB} = \vec{CB} + \vec{AB}$. Сумма $\vec{CB} + \vec{AB}$ по правилу треугольника равна вектору $\vec{CA}$.

Модуль вектора $\vec{CA}$ равен длине стороны $CA$, то есть $a$.

$|\vec{AB} + \vec{CB}| = |\vec{CA}| = a$

Ответ: $a$

г)

Разность векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$, выходящих из одной точки $B$, по определению равна вектору, соединяющему конец вычитаемого ($\vec{BC}$) с концом уменьшаемого ($\vec{BA}$).

$\vec{BA} - \vec{BC} = \vec{CA}$

Модуль вектора $\vec{CA}$ равен длине стороны $CA$, то есть $a$.

$|\vec{BA} - \vec{BC}| = |\vec{CA}| = a$

Ответ: $a$

д)

Разность векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, выходящих из одной точки $A$, равна вектору, соединяющему конец вычитаемого ($\vec{AC}$) с концом уменьшаемого ($\vec{AB}$).

$\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$

Модуль вектора $\vec{CB}$ равен длине стороны $CB$, то есть $a$.

$|\vec{AB} - \vec{AC}| = |\vec{CB}| = a$

Ответ: $a$