Номер 763, страница 200 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 2. Сложение и вычитание векторов - номер 763, страница 200.

Условие.

763 В треугольнике $ABC$ $AB=6$, $BC=8$, $\angle B = 90^\circ$. Найдите:

а) $|\vec{BA}| - |\vec{BC}|$ и $|\vec{BA} - \vec{BC}|$;

б) $|\vec{AB}| + |\vec{BC}|$ и $|\vec{AB} + \vec{BC}|$;

в) $|\vec{BA}| + |\vec{BC}|$ и $|\vec{BA} + \vec{BC}|$;

г) $|\vec{AB}| - |\vec{BC}|$ и $|\vec{AB} - \vec{BC}|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

По условию задачи дан прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AB=6$ и $BC=8$ и прямым углом при вершине $B$ ($\angle B = 90^\circ$).

Длина (модуль) вектора равна длине соответствующего отрезка. Таким образом:

$|\overrightarrow{AB}| = AB = 6$

$|\overrightarrow{BA}| = BA = 6$

$|\overrightarrow{BC}| = BC = 8$

Найдем длину гипотенузы $AC$ по теореме Пифагора:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Следовательно, $|\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{CA}| = 10$.

а) $|\overrightarrow{BA}| - |\overrightarrow{BC}|$ и $|\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC}|$.

1. Находим разность модулей векторов:

$|\overrightarrow{BA}| - |\overrightarrow{BC}| = 6 - 8 = -2$.

2. Находим модуль разности векторов. По правилу вычитания векторов, разность векторов $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$ — это вектор, идущий из конца вектора $\overrightarrow{BC}$ в конец вектора $\overrightarrow{BA}$, то есть вектор $\overrightarrow{CA}$.

$\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}$.

Тогда модуль этого вектора равен длине отрезка $CA$:

$|\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{CA}| = CA = 10$.

Ответ: -2 и 10.

б) $|\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}|$ и $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}|$.

1. Находим сумму модулей векторов:

$|\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}| = 6 + 8 = 14$.

2. Находим модуль суммы векторов. По правилу треугольника для сложения векторов, так как начало вектора $\overrightarrow{BC}$ совпадает с концом вектора $\overrightarrow{AB}$, их сумма — это вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго.

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.

Тогда модуль этого вектора равен длине отрезка $AC$:

$|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AC}| = AC = 10$.

Ответ: 14 и 10.

в) $|\overrightarrow{BA}| + |\overrightarrow{BC}|$ и $|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}|$.

1. Находим сумму модулей векторов:

$|\overrightarrow{BA}| + |\overrightarrow{BC}| = 6 + 8 = 14$.

2. Находим модуль суммы векторов. Векторы $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$ выходят из одной точки $B$. Для их сложения используем правило параллелограмма. Достроим на этих векторах как на сторонах параллелограмм $BADC$. Так как угол между векторами $\angle B = 90^\circ$, этот параллелограмм является прямоугольником. Суммой векторов будет вектор диагонали $\overrightarrow{BD}$.

$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD}$.

Длина диагонали прямоугольника $BADC$ равна длине другой диагонали $AC$.

$|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{BD}| = BD = AC = 10$.

Ответ: 14 и 10.

г) $|\overrightarrow{AB}| - |\overrightarrow{BC}|$ и $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}|$.

1. Находим разность модулей векторов:

$|\overrightarrow{AB}| - |\overrightarrow{BC}| = 6 - 8 = -2$.

2. Находим модуль разности векторов. Преобразуем выражение:

$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC} = -(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC})$.

Как мы выяснили в пункте (в), сумма $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$ равна вектору $\overrightarrow{BD}$.

Следовательно, $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{DB}$.

Модуль этого вектора равен длине отрезка $DB$, который является диагональю прямоугольника $BADC$.

$|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{DB}| = DB = AC = 10$.

Ответ: -2 и 10.