Номер 769, страница 201 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 2. Сложение и вычитание векторов - номер 769, страница 201.

Условие.

769 □ Отрезок $BB_1$ — медиана треугольника $ABC$. Выразите векторы $\vec{B_1C}$, $\vec{BB_1}$, $\vec{BA}$, $\vec{BC}$ через $x = \vec{AB_1}$ и $y = \vec{AB}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Дано: треугольник $ABC$, $BB_1$ — медиана, $ \vec{x} = \vec{AB_1} $, $ \vec{y} = \vec{AB} $.

$\vec{B_1C}$ Поскольку $BB_1$ — медиана, то точка $B_1$ является серединой отрезка $AC$. Это означает, что векторы $ \vec{AB_1} $ и $ \vec{B_1C} $ равны, так как они коллинеарны, сонаправлены и их длины равны ($AB_1 = B_1C$). По условию $ \vec{AB_1} = \vec{x} $, следовательно, $ \vec{B_1C} = \vec{x} $. Ответ: $ \vec{B_1C} = \vec{x} $.

$\vec{BB_1}$ Для нахождения вектора $ \vec{BB_1} $ воспользуемся правилом сложения векторов (правило треугольника). Рассмотрим треугольник $ABB_1$. Вектор $ \vec{BB_1} $ можно представить как сумму векторов $ \vec{BA} $ и $ \vec{AB_1} $: $ \vec{BB_1} = \vec{BA} + \vec{AB_1} $. Вектор $ \vec{BA} $ противоположен вектору $ \vec{AB} $. По условию $ \vec{AB} = \vec{y} $, значит $ \vec{BA} = -\vec{y} $. Вектор $ \vec{AB_1} $ по условию равен $ \vec{x} $. Подставив эти значения, получаем: $ \vec{BB_1} = -\vec{y} + \vec{x} $. Ответ: $ \vec{BB_1} = \vec{x} - \vec{y} $.

$\vec{BA}$ Вектор $ \vec{BA} $ является противоположным по направлению вектору $ \vec{AB} $, при этом их длины равны. По условию $ \vec{AB} = \vec{y} $. Следовательно, $ \vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{y} $. Ответ: $ \vec{BA} = -\vec{y} $.

$\vec{BC}$ Выразим вектор $ \vec{BC} $ по правилу треугольника, используя векторы с общим началом в точке A: $ \vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} $. Так как $B_1$ — середина стороны $AC$, то вектор $ \vec{AC} $ в два раза длиннее вектора $ \vec{AB_1} $ и имеет то же направление: $ \vec{AC} = 2\vec{AB_1} $. По условию $ \vec{AB_1} = \vec{x} $, значит $ \vec{AC} = 2\vec{x} $. По условию $ \vec{AB} = \vec{y} $. Подставляем найденные выражения в формулу для $ \vec{BC} $: $ \vec{BC} = 2\vec{x} - \vec{y} $. Ответ: $ \vec{BC} = 2\vec{x} - \vec{y} $.