Номер 773, страница 201 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 2. Сложение и вычитание векторов - номер 773, страница 201.

Условие.

773 Докажите, что для любых двух векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ справедливо неравенство $\left|\vec{x}-\vec{y}\right| \leq \left|\vec{x}\right|+\left|\vec{y}\right|.$ В каком случае $\left|\vec{x}-\vec{y}\right| = \left|\vec{x}\right|+\left|\vec{y}\right|?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Докажите, что для любых двух векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ справедливо неравенство $|\vec{x}-\vec{y}|\leq|\vec{x}|+|\vec{y}|$

Данное неравенство является следствием неравенства треугольника для векторов, которое для любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ записывается как $|\vec{a}+\vec{b}|\leq|\vec{a}|+|\vec{b}|$.

Чтобы доказать требуемое неравенство, представим разность $\vec{x}-\vec{y}$ в виде суммы $\vec{x}+(-\vec{y})$ и применим к ней неравенство треугольника, взяв $\vec{a} = \vec{x}$ и $\vec{b} = -\vec{y}$:

$|\vec{x}+(-\vec{y})|\leq|\vec{x}|+|-\vec{y}|$

Так как $|-\vec{y}|=|\vec{y}|$ (длина вектора не зависит от его направления, а лишь от его модуля), мы получаем:

$|\vec{x}-\vec{y}|\leq|\vec{x}|+|\vec{y}|$

Неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

В каком случае $|\vec{x}-\vec{y}|=|\vec{x}|+|\vec{y}|$?

Равенство в неравенстве треугольника $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$ имеет место тогда и только тогда, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены (направлены в одну сторону) или хотя бы один из них является нулевым.

В нашем случае, равенство $|\vec{x}-\vec{y}|=|\vec{x}|+|\vec{y}|$ можно записать как $|\vec{x}+(-\vec{y})|=|\vec{x}|+|-\vec{y}|$. Здесь $\vec{a}=\vec{x}$ и $\vec{b}=-\vec{y}$.

Следовательно, равенство достигается, когда векторы $\vec{x}$ и $-\vec{y}$ сонаправлены.

Условие сонаправленности векторов $\vec{x}$ и $-\vec{y}$ означает, что векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ направлены в противоположные стороны (являются противоположно направленными).

Также это условие выполняется, если один из векторов (или оба) является нулевым. Например, если $\vec{y}=\vec{0}$, равенство принимает вид $|\vec{x}|=|\vec{x}|$, что верно для любого вектора $\vec{x}$. Если $\vec{x}=\vec{0}$, равенство становится $|-\vec{y}|=|\vec{y}|$, что также всегда верно.

Таким образом, равенство справедливо в том случае, если векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ противоположно направлены, либо хотя бы один из них — нулевой.

Ответ: Равенство достигается, когда векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ противоположно направлены, или когда хотя бы один из векторов равен нулевому вектору.