Номер 772, страница 201 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 2. Сложение и вычитание векторов - номер 772, страница 201.

Условие.

772 Дан параллелограмм $ABCD$. Докажите, что $\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}$, где $X$ — произвольная точка плоскости.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства данного векторного равенства преобразуем его, перенеся слагаемые из правой части в левую:

$\overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XC} - \overrightarrow{XB} - \overrightarrow{XD} = \vec{0}$

Сгруппируем векторы попарно:

$(\overrightarrow{XA} - \overrightarrow{XB}) + (\overrightarrow{XC} - \overrightarrow{XD}) = \vec{0}$

Воспользуемся правилом вычитания векторов: для любых трех точек $O, P, Q$ справедливо равенство $\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{QP}$. Применим это правило к нашим группам векторов, где в качестве точки $O$ выступает точка $X$:

$\overrightarrow{XA} - \overrightarrow{XB} = \overrightarrow{BA}$

$\overrightarrow{XC} - \overrightarrow{XD} = \overrightarrow{DC}$

Подставим полученные выражения обратно в равенство:

$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DC} = \vec{0}$

Теперь необходимо проверить, является ли это равенство верным для параллелограмма $ABCD$.

По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны и равны. Это означает, что векторы, лежащие на этих сторонах, либо равны (если они сонаправлены), либо противоположны (если они направлены в противоположные стороны).

В параллелограмме $ABCD$ стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны. Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$ сонаправлены, следовательно, они равны:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

Вектор $\overrightarrow{BA}$ является противоположным вектору $\overrightarrow{AB}$, то есть $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$.

Заменим в равенстве $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ вектор $\overrightarrow{AB}$ на $-\overrightarrow{BA}$:

$-\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{DC}$

Перенесем все в левую часть:

$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DC} = \vec{0}$

Мы получили тождество, которое требовалось доказать. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное равенство $\overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XC} = \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XD}$ также является верным для любой точки $X$ плоскости.

Ответ: Равенство доказано.