Номер 768, страница 201 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 2. Сложение и вычитание векторов - номер 768, страница 201.

Условие.

768 □ Точки M и N — середины сторон AB и AC треугольника ABC. Выразите векторы $\vec{BM}$, $\vec{NC}$, $\vec{MN}$, $\vec{BN}$ через векторы $\vec{a} = \vec{AM}$ и $\vec{b} = \vec{AN}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения этой задачи мы будем использовать определения векторов, связанных с серединой отрезка, и правило сложения векторов (правило треугольника).

По условию, $M$ – середина стороны $AB$ и $N$ – середина стороны $AC$ в треугольнике $ABC$. Введены векторы $\vec{a} = \vec{AM}$ и $\vec{b} = \vec{AN}$.

$\vec{BM}$

Так как точка $M$ является серединой стороны $AB$, она делит отрезок $AB$ на две равные части. Векторы $\vec{AM}$ и $\vec{MB}$ имеют одинаковое направление и равную длину, следовательно, они равны: $\vec{AM} = \vec{MB}$.

Вектор $\vec{BM}$ является противоположным вектору $\vec{MB}$, то есть $\vec{BM} = -\vec{MB}$.

Заменив $\vec{MB}$ на $\vec{AM}$, получим $\vec{BM} = -\vec{AM}$. Поскольку по условию $\vec{AM} = \vec{a}$, то:

$\vec{BM} = -\vec{a}$.

Ответ: $\vec{BM} = -\vec{a}$.

$\vec{NC}$

Аналогично, так как точка $N$ – середина стороны $AC$, векторы $\vec{AN}$ и $\vec{NC}$ равны: $\vec{AN} = \vec{NC}$.

По условию задачи $\vec{AN} = \vec{b}$, следовательно:

$\vec{NC} = \vec{b}$.

Ответ: $\vec{NC} = \vec{b}$.

$\vec{MN}$

Чтобы выразить вектор $\vec{MN}$, воспользуемся правилом треугольника для сложения векторов. Представим вектор $\vec{MN}$ как сумму векторов $\vec{MA}$ и $\vec{AN}$:

$\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AN}$.

Вектор $\vec{MA}$ противоположен вектору $\vec{AM}$, поэтому $\vec{MA} = -\vec{AM} = -\vec{a}$.

Вектор $\vec{AN}$ дан по условию: $\vec{AN} = \vec{b}$.

Подставляя эти значения, получаем:

$\vec{MN} = -\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} - \vec{a}$.

Ответ: $\vec{MN} = \vec{b} - \vec{a}$.

$\vec{BN}$

Выразим вектор $\vec{BN}$ по правилу треугольника, используя путь через точку $A$:

$\vec{BN} = \vec{BA} + \vec{AN}$.

Сначала найдем вектор $\vec{BA}$. Так как $M$ – середина $AB$, то вектор $\vec{AB}$ в два раза длиннее вектора $\vec{AM}$ и сонаправлен с ним: $\vec{AB} = 2\vec{AM} = 2\vec{a}$.

Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB} = -2\vec{a}$.

Вектор $\vec{AN}$ нам известен: $\vec{AN} = \vec{b}$.

Теперь подставим найденные векторы в исходное равенство:

$\vec{BN} = -2\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} - 2\vec{a}$.

Ответ: $\vec{BN} = \vec{b} - 2\vec{a}$.