Номер 767, страница 201 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 2. Сложение и вычитание векторов - номер 767, страница 201.

Условие.

767 Дан треугольник ABC. Выразите через векторы $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$ и $\vec{b}=\overrightarrow{AC}$ следующие векторы: а) $\overrightarrow{BA}$; б) $\overrightarrow{CB}$; в) $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}$.

Решение

а) Векторы $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{AB}$ – противоположные, поэтому $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$, или $\overrightarrow{BA}=-\vec{a}$.

б) По правилу треугольника $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}$. Но $\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}$, поэтому $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+(-\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\vec{a}-\vec{b}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

а) $\vec{BA}$

Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{AB}$ имеют одинаковую длину (модуль), но противоположные направления. Такие векторы называются противоположными. Связь между ними выражается формулой $\vec{BA} = -\vec{AB}$.
Поскольку по условию задачи $\vec{AB} = \vec{a}$, то, подставив это значение, получаем: $\vec{BA} = -\vec{a}$.

Ответ: $-\vec{a}$

б) $\vec{CB}$

Чтобы выразить вектор $\vec{CB}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника). Представим вектор $\vec{CB}$ как сумму векторов, проходящих через точку A: $\vec{CB} = \vec{CA} + \vec{AB}$.
Из условия нам известно, что $\vec{AB} = \vec{a}$.
Вектор $\vec{CA}$ является противоположным вектору $\vec{AC}$. Следовательно, $\vec{CA} = -\vec{AC}$.
По условию $\vec{AC} = \vec{b}$, значит $\vec{CA} = -\vec{b}$.
Теперь подставим полученные выражения в исходное равенство:
$\vec{CB} = \vec{CA} + \vec{AB} = -\vec{b} + \vec{a}$.
Для удобства записи слагаемые меняют местами: $\vec{CB} = \vec{a} - \vec{b}$.

Ответ: $\vec{a} - \vec{b}$

в) $\vec{CB} + \vec{BA}$

Для нахождения суммы векторов $\vec{CB}$ и $\vec{BA}$ применим правило треугольника (также известное как правило Шаля). Согласно этому правилу, если начало второго вектора совпадает с концом первого, то их сумма — это вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом второго.
В нашем случае конец вектора $\vec{CB}$ (точка B) совпадает с началом вектора $\vec{BA}$ (точка B). Значит, сумма этих векторов — это вектор $\vec{CA}$:
$\vec{CB} + \vec{BA} = \vec{CA}$.
Как мы установили в пункте б), вектор $\vec{CA}$ является противоположным вектору $\vec{AC}$. Так как $\vec{AC} = \vec{b}$, получаем:
$\vec{CA} = -\vec{AC} = -\vec{b}$.
Таким образом, $\vec{CB} + \vec{BA} = -\vec{b}$.
Также можно было сложить результаты, полученные в пунктах а) и б):
$\vec{CB} + \vec{BA} = (\vec{a} - \vec{b}) + (-\vec{a}) = \vec{a} - \vec{b} - \vec{a} = -\vec{b}$.

Ответ: $-\vec{b}$