Номер 760, страница 200 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 2. Сложение и вычитание векторов - номер 760, страница 200.

Условие.

760 Докажите, что для любых двух неколлинеарных векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ справедливо неравенство $|\vec{x} + \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}|.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Это утверждение известно как строгое неравенство треугольника для векторов. Для его доказательства воспользуемся алгебраическим методом, основанным на свойствах скалярного произведения.

Нам необходимо доказать, что $|\vec{x} + \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}|$.

Поскольку обе части неравенства являются неотрицательными величинами (модуль вектора не может быть отрицательным), мы можем возвести обе части в квадрат, не меняя знака неравенства. Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему:

$|\vec{x} + \vec{y}|^2 < (|\vec{x}| + |\vec{y}|)^2$

Рассмотрим левую часть. Квадрат модуля вектора равен его скалярному произведению на самого себя:

$|\vec{x} + \vec{y}|^2 = (\vec{x} + \vec{y}) \cdot (\vec{x} + \vec{y})$

Раскрывая скобки по правилам скалярного умножения, получаем:

$(\vec{x} + \vec{y}) \cdot (\vec{x} + \vec{y}) = \vec{x} \cdot \vec{x} + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + \vec{y} \cdot \vec{y}$

Так как $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$, выражение принимает вид:

$|\vec{x}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + |\vec{y}|^2$

Теперь вспомним определение скалярного произведения через косинус угла между векторами: $\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}| |\vec{y}| \cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{x}$ и $\vec{y}$. Подставим это в наше выражение:

$|\vec{x} + \vec{y}|^2 = |\vec{x}|^2 + 2|\vec{x}||\vec{y}|\cos\theta + |\vec{y}|^2$

Теперь рассмотрим правую часть неравенства, возведенную в квадрат:

$(|\vec{x}| + |\vec{y}|)^2 = |\vec{x}|^2 + 2|\vec{x}||\vec{y}| + |\vec{y}|^2$

Сравним преобразованные левую и правую части. Неравенство принимает вид:

$|\vec{x}|^2 + 2|\vec{x}||\vec{y}|\cos\theta + |\vec{y}|^2 < |\vec{x}|^2 + 2|\vec{x}||\vec{y}| + |\vec{y}|^2$

Вычтем из обеих частей одинаковые слагаемые $|\vec{x}|^2$ и $|\vec{y}|^2$:

$2|\vec{x}||\vec{y}|\cos\theta < 2|\vec{x}||\vec{y}|$

По условию векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ неколлинеарны. Это означает, что они оба являются ненулевыми векторами, а значит их модули $|\vec{x}|$ и $|\vec{y}|$ — строго положительные числа. Следовательно, мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $2|\vec{x}||\vec{y}|$:

$\cos\theta < 1$

Это неравенство верно для любого угла $\theta$, за исключением случая, когда $\theta = 2\pi k$ для целого $k$. Равенство $\cos\theta = 1$ достигается только тогда, когда угол $\theta = 0$, то есть когда векторы сонаправлены. Сонаправленные векторы являются коллинеарными. Но по условию задачи векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ неколлинеарны, значит, угол между ними $\theta \neq 0$. Следовательно, $\cos\theta$ всегда будет строго меньше 1.

Таким образом, мы доказали, что для любых двух неколлинеарных векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ справедливо неравенство $|\vec{x} + \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}|$.

Ответ: Неравенство доказано. Строгость неравенства обеспечивается условием неколлинеарности векторов, которое исключает случай достижения равенства (когда векторы сонаправлены).