Номер 761, страница 200 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 2. Сложение и вычитание векторов - номер 761, страница 200.

Условие.

761 Докажите, что если A, B, C, и D — произвольные точки, то $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства данного векторного равенства воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника или, в общем случае, правилом многоугольника). Согласно этому правилу, для любых трех точек $P$, $Q$ и $R$ выполняется равенство $\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}$.

Рассмотрим левую часть равенства, которое необходимо доказать: $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA}$.

Будем последовательно применять правило сложения векторов:

1. Сначала сгруппируем и сложим первые два вектора $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$. По правилу треугольника, их сумма — это вектор, идущий из начальной точки первого вектора (A) в конечную точку второго (C):
$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

2. Теперь подставим полученный результат в наше выражение. Оно примет вид:
$(\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DA}$.

3. Далее, сложим векторы $\vec{AC}$ и $\vec{CD}$ по тому же правилу:
$\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$.

4. Подставим этот результат в наше выражение:
$(\vec{AC} + \vec{CD}) + \vec{DA} = \vec{AD} + \vec{DA}$.

5. На последнем шаге мы должны сложить векторы $\vec{AD}$ и $\vec{DA}$. Эти векторы являются противоположными: они имеют одинаковую длину, но направлены в противоположные стороны. Таким образом, $\vec{DA} = -\vec{AD}$. Сумма двух противоположных векторов всегда равна нулевому вектору ($\vec{0}$):
$\vec{AD} + \vec{DA} = \vec{AD} + (-\vec{AD}) = \vec{0}$.

С другой стороны, можно сказать, что сумма векторов $\vec{AD} + \vec{DA}$ по правилу сложения равна вектору $\vec{AA}$. Вектор, у которого начало и конец совпадают, по определению является нулевым вектором, то есть $\vec{AA} = \vec{0}$.

Таким образом, мы доказали, что $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{0}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{0}$ доказано.