Номер 771, страница 201 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 2. Сложение и вычитание векторов - номер 771, страница 201.

Условие.

771 Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Выразите через векторы $a=\vec{AB}$ и $b=\vec{AD}$ векторы: $\vec{DC}+\vec{CB}$, $\vec{BO}+\vec{OC}$, $\vec{BO}-\vec{OC}$, $\vec{BA}-\vec{DA}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов и параллелограмма. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{AD} = \vec{BC}$. Диагонали в точке пересечения $O$ делятся пополам, поэтому $\vec{AO} = \vec{OC}$ и $\vec{BO} = \vec{OD}$. По условию, $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$.

$\vec{DC}+\vec{CB}$

Используем свойства векторов сторон параллелограмма, чтобы выразить их через $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a}$

$\vec{CB} = -\vec{BC} = -\vec{AD} = -\vec{b}$

Складывая эти векторы, получаем:

$\vec{DC} + \vec{CB} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} - \vec{b}$

Ответ: $\vec{a} - \vec{b}$

$\vec{BO}+\vec{OC}$

Согласно правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма векторов $\vec{BO}$ и $\vec{OC}$ равна вектору $\vec{BC}$:

$\vec{BO} + \vec{OC} = \vec{BC}$

Так как $ABCD$ – параллелограмм, его противоположные стороны равны, следовательно, $\vec{BC} = \vec{AD}$.

По условию $\vec{AD} = \vec{b}$, поэтому:

$\vec{BO} + \vec{OC} = \vec{b}$

Ответ: $\vec{b}$

$\vec{BO}-\vec{OC}$

Диагонали параллелограмма в точке пересечения $O$ делятся пополам. Это означает, что $\vec{OC} = \vec{AO}$.

Заменим $\vec{OC}$ на равный ему вектор $\vec{AO}$ в исходном выражении:

$\vec{BO} - \vec{OC} = \vec{BO} - \vec{AO}$

Вычитание вектора $\vec{AO}$ эквивалентно прибавлению противоположного ему вектора $\vec{OA}$:

$\vec{BO} - \vec{AO} = \vec{BO} + \vec{OA}$

По правилу треугольника, $\vec{BO} + \vec{OA} = \vec{BA}$.

Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$.

Ответ: $-\vec{a}$

$\vec{BA}-\vec{DA}$

Выразим каждый из векторов в разности через заданные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$: $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$.

Вектор $\vec{DA}$ противоположен вектору $\vec{AD}$: $\vec{DA} = -\vec{AD} = -\vec{b}$.

Теперь выполним вычитание:

$\vec{BA} - \vec{DA} = (-\vec{a}) - (-\vec{b}) = -\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} - \vec{a}$

Ответ: $\vec{b} - \vec{a}$