Номер 778, страница 206 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 778, страница 206.

Условие.

778 Начертите попарно неколлинеарные векторы $ \vec{a} $, $ \vec{b} $ и $ \vec{c} $. Постройте векторы:

a) $ 2\vec{a} + 3\vec{b} - 4\vec{c} $

б) $ \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи сначала необходимо начертить три произвольных попарно неколлинеарных вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Неколлинеарность означает, что никакие два из этих векторов не лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Построение итоговых векторов будет производиться с помощью правила многоугольника для сложения векторов, при котором векторы-слагаемые откладываются последовательно один за другим (начало следующего вектора совпадает с концом предыдущего).

а)

Требуется построить вектор $\vec{d} = 2\vec{a} + 3\vec{b} - 4\vec{c}$.

1. Выберем на плоскости произвольную точку $O$, которая будет служить началом для построения.

2. От точки $O$ отложим вектор $\vec{OA}$, равный вектору $2\vec{a}$. Вектор $\vec{OA}$ сонаправлен вектору $\vec{a}$ (имеет то же направление), а его длина в два раза больше длины вектора $\vec{a}$.

3. От конца полученного вектора, точки $A$, отложим вектор $\vec{AB}$, равный вектору $3\vec{b}$. Вектор $\vec{AB}$ сонаправлен вектору $\vec{b}$, а его длина в три раза больше длины вектора $\vec{b}$.

4. От точки $B$ отложим вектор $\vec{BC}$, равный вектору $-4\vec{c}$. Этот вектор направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{c}$, а его длина в четыре раза больше длины вектора $\vec{c}$.

5. Искомый вектор $\vec{d}$ является замыкающим вектором, который соединяет начальную точку первого вектора ($O$) с конечной точкой последнего ($C$). Таким образом, $\vec{d} = \vec{OC}$.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{OC}$, построенный по правилу многоугольника, как описано выше.

б)

Требуется построить вектор $\vec{e} = \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$.

1. Выберем на плоскости произвольную начальную точку $O'$.

2. От точки $O'$ отложим вектор $\vec{O'D}$, равный вектору $\frac{1}{2}\vec{a}$. Вектор $\vec{O'D}$ сонаправлен вектору $\vec{a}$, а его длина равна половине длины вектора $\vec{a}$.

3. От точки $D$ отложим вектор $\vec{DE}$, равный вектору $-\vec{b}$. Вектор $\vec{DE}$ имеет такую же длину, как и $\vec{b}$, но направлен в противоположную сторону.

4. От точки $E$ отложим вектор $\vec{EF}$, равный вектору $\frac{1}{3}\vec{c}$. Вектор $\vec{EF}$ сонаправлен вектору $\vec{c}$, а его длина равна одной трети длины вектора $\vec{c}$.

5. Искомый вектор $\vec{e}$ является вектором, соединяющим начальную точку $O'$ с конечной точкой $F$. Таким образом, $\vec{e} = \vec{O'F}$.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{O'F}$, построенный по правилу многоугольника, как описано выше.