Номер 781, страница 206 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 781, страница 206.

Условие.

781 Пусть $ \vec{x} = \vec{m} + \vec{n}, \vec{y} = \vec{m} - \vec{n}. $ Выразите через $ \vec{m} $ и $ \vec{n} $ векторы:

а) $ 2\vec{x} - 2\vec{y}; $

б) $ 2\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}; $

в) $ -\vec{x} - \frac{1}{3}\vec{y}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Дано: $\vec{x} = \vec{m} + \vec{n}$, $\vec{y} = \vec{m} - \vec{n}$.

Чтобы выразить заданные векторы через $\vec{m}$ и $\vec{n}$, необходимо подставить данные выражения для $\vec{x}$ и $\vec{y}$ в каждое из уравнений и упростить их.

а)

Подставляем выражения для $\vec{x}$ и $\vec{y}$:

$2\vec{x} - 2\vec{y} = 2(\vec{m} + \vec{n}) - 2(\vec{m} - \vec{n})$

Раскрываем скобки:

$2\vec{m} + 2\vec{n} - 2\vec{m} + 2\vec{n}$

Группируем и приводим подобные слагаемые:

$(2\vec{m} - 2\vec{m}) + (2\vec{n} + 2\vec{n}) = 0 + 4\vec{n} = 4\vec{n}$

Ответ: $4\vec{n}$

б)

Подставляем выражения для $\vec{x}$ и $\vec{y}$:

$2\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y} = 2(\vec{m} + \vec{n}) + \frac{1}{2}(\vec{m} - \vec{n})$

Раскрываем скобки:

$2\vec{m} + 2\vec{n} + \frac{1}{2}\vec{m} - \frac{1}{2}\vec{n}$

Группируем и приводим подобные слагаемые:

$(2\vec{m} + \frac{1}{2}\vec{m}) + (2\vec{n} - \frac{1}{2}\vec{n}) = (\frac{4}{2} + \frac{1}{2})\vec{m} + (\frac{4}{2} - \frac{1}{2})\vec{n} = \frac{5}{2}\vec{m} + \frac{3}{2}\vec{n}$

Ответ: $\frac{5}{2}\vec{m} + \frac{3}{2}\vec{n}$

в)

Подставляем выражения для $\vec{x}$ и $\vec{y}$:

$-\vec{x} - \frac{1}{3}\vec{y} = -(\vec{m} + \vec{n}) - \frac{1}{3}(\vec{m} - \vec{n})$

Раскрываем скобки:

$-\vec{m} - \vec{n} - \frac{1}{3}\vec{m} + \frac{1}{3}\vec{n}$

Группируем и приводим подобные слагаемые:

$(-\vec{m} - \frac{1}{3}\vec{m}) + (-\vec{n} + \frac{1}{3}\vec{n}) = (-\frac{3}{3} - \frac{1}{3})\vec{m} + (-\frac{3}{3} + \frac{1}{3})\vec{n} = -\frac{4}{3}\vec{m} - \frac{2}{3}\vec{n}$

Ответ: $-\frac{4}{3}\vec{m} - \frac{2}{3}\vec{n}$