Номер 786, страница 207 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 786, страница 207.

Условие.

786 Отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ — медианы треугольника $ABC$. Выразите векторы $\vec{AA_1}$, $\vec{BB_1}$, $\vec{CC_1}$ через векторы $\vec{a} = \vec{AC}$ и $\vec{b} = \vec{AB}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ проведены медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. Нам нужно выразить векторы этих медиан через векторы $\vec{a} = \vec{AC}$ и $\vec{b} = \vec{AB}$.

$\vec{AA_1}$

Медиана $AA_1$ соединяет вершину $A$ с серединой $A_1$ стороны $BC$. Вектор медианы, проведенной из вершины треугольника, равен полусумме векторов, образующих стороны, выходящие из этой же вершины. Для медианы $AA_1$ это векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Таким образом, формула для вектора медианы $\vec{AA_1}$ выглядит так:

$\vec{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$

Подставляя в эту формулу заданные векторы $\vec{b} = \vec{AB}$ и $\vec{a} = \vec{AC}$, получаем:

$\vec{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{a}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

Ответ: $\vec{AA_1} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

$\vec{BB_1}$

Медиана $BB_1$ соединяет вершину $B$ с серединой $B_1$ стороны $AC$. Для нахождения вектора $\vec{BB_1}$ воспользуемся правилом сложения векторов (правило треугольника). Вектор $\vec{BB_1}$ можно представить как сумму векторов $\vec{BA}$ и $\vec{AB_1}$:

$\vec{BB_1} = \vec{BA} + \vec{AB_1}$

Вектор $\vec{BA}$ является противоположным вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{b}$.

Поскольку $B_1$ — середина стороны $AC$, вектор $\vec{AB_1}$ равен половине вектора $\vec{AC}$:

$\vec{AB_1} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{a}$

Теперь подставим найденные выражения в формулу для $\vec{BB_1}$:

$\vec{BB_1} = -\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b}$

Ответ: $\vec{BB_1} = \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b}$

$\vec{CC_1}$

Медиана $CC_1$ соединяет вершину $C$ с серединой $C_1$ стороны $AB$. Аналогично предыдущему пункту, используем правило треугольника:

$\vec{CC_1} = \vec{CA} + \vec{AC_1}$

Вектор $\vec{CA}$ является противоположным вектору $\vec{AC}$, поэтому $\vec{CA} = -\vec{AC} = -\vec{a}$.

Поскольку $C_1$ — середина стороны $AB$, вектор $\vec{AC_1}$ равен половине вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AC_1} = \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{b}$

Подставим полученные выражения в формулу для $\vec{CC_1}$:

$\vec{CC_1} = -\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$

Ответ: $\vec{CC_1} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$