Номер 782, страница 206 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 782, страница 206.

Условие.

782 ◻ В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ — середина стороны $AD$, точка $G$ — середина стороны $BC$. Выразите векторы $\vec{EC}$ и $\vec{AG}$ через векторы $\vec{DC} = \vec{a}$ и $\vec{BC} = \vec{b}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

По условию задачи дан параллелограмм $ABCD$. Точка $E$ — середина стороны $AD$, а точка $G$ — середина стороны $BC$. Введены базисные векторы $\vec{DC} = \vec{a}$ и $\vec{BC} = \vec{b}$. Необходимо выразить векторы $\vec{EC}$ и $\vec{AG}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

$\vec{EC}$

Для того чтобы выразить вектор $\vec{EC}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правило треугольника). Представим вектор $\vec{EC}$ как сумму векторов, идущих из точки $E$ в точку $C$ через точку $D$:
$\vec{EC} = \vec{ED} + \vec{DC}$
Из условия нам известен вектор $\vec{DC} = \vec{a}$.
Найдем вектор $\vec{ED}$. Так как $E$ — середина стороны $AD$, то вектор $\vec{ED}$ равен по модулю половине длины стороны $AD$ и сонаправлен с вектором $\vec{AD}$. Таким образом, $\vec{ED} = \frac{1}{2}\vec{AD}$.
В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому векторы, построенные на этих сторонах, равны: $\vec{AD} = \vec{BC}$.
По условию $\vec{BC} = \vec{b}$, значит, $\vec{AD} = \vec{b}$.
Следовательно, $\vec{ED} = \frac{1}{2}\vec{b}$.
Теперь подставим полученные выражения для векторов $\vec{ED}$ и $\vec{DC}$ в исходную формулу:
$\vec{EC} = \vec{ED} + \vec{DC} = \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{a}$.
Запишем в привычном порядке:
$\vec{EC} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$.
Ответ: $\vec{EC} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$.

$\vec{AG}$

Аналогично, для выражения вектора $\vec{AG}$ воспользуемся правилом треугольника. Представим вектор $\vec{AG}$ как сумму векторов, идущих из точки $A$ в точку $G$ через точку $B$:
$\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{BG}$
Найдем вектор $\vec{AB}$. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{AB} = \vec{DC}$.
Из условия $\vec{DC} = \vec{a}$, следовательно, $\vec{AB} = \vec{a}$.
Найдем вектор $\vec{BG}$. Так как $G$ — середина стороны $BC$, то вектор $\vec{BG}$ равен по модулю половине длины стороны $BC$ и сонаправлен с вектором $\vec{BC}$. Таким образом, $\vec{BG} = \frac{1}{2}\vec{BC}$.
По условию $\vec{BC} = \vec{b}$, значит, $\vec{BG} = \frac{1}{2}\vec{b}$.
Теперь подставим полученные выражения для векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BG}$ в исходную формулу:
$\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{BG} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$.
Ответ: $\vec{AG} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$.