Номер 787, страница 207 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 787, страница 207.

Условие.

787 ☐ Точка O — середина медианы EG треугольника DEF. Выразите вектор $ \vec{DO} $ через векторы $ \vec{a}=\vec{ED} $ и $ \vec{b}=\vec{EF} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

По условию задачи, $EG$ является медианой треугольника $DEF$, проведенной из вершины $E$. Это означает, что точка $G$ является серединой стороны $DF$. Точка $O$ является серединой медианы $EG$.

Нам необходимо выразить вектор $\vec{DO}$ через векторы $\vec{a} = \vec{ED}$ и $\vec{b} = \vec{EF}$.

Воспользуемся правилом треугольника для сложения векторов, чтобы представить вектор $\vec{DO}$ в виде суммы других векторов. Удобно выбрать путь через точку $E$, так как заданные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ имеют начало в этой точке. $\vec{DO} = \vec{DE} + \vec{EO}$

Найдем каждый из векторов в правой части равенства:

1. Вектор $\vec{DE}$ противоположен вектору $\vec{ED}$. Так как по условию $\vec{ED} = \vec{a}$, то $\vec{DE} = -\vec{ED} = -\vec{a}$.

2. Точка $O$ — середина отрезка $EG$, следовательно, вектор $\vec{EO}$ равен половине вектора $\vec{EG}$: $\vec{EO} = \frac{1}{2}\vec{EG}$.

Теперь нужно выразить вектор $\vec{EG}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Снова используем правило треугольника: $\vec{EG} = \vec{ED} + \vec{DG}$

Мы знаем, что $\vec{ED} = \vec{a}$. Найдем вектор $\vec{DG}$. Поскольку $G$ — середина $DF$, то $\vec{DG} = \frac{1}{2}\vec{DF}$.

Выразим вектор $\vec{DF}$ через векторы, выходящие из точки $E$: $\vec{DF} = \vec{DE} + \vec{EF}$ Подставляем известные значения: $\vec{DE} = -\vec{a}$ и $\vec{EF} = \vec{b}$. $\vec{DF} = -\vec{a} + \vec{b}$

Теперь находим $\vec{DG}$: $\vec{DG} = \frac{1}{2}\vec{DF} = \frac{1}{2}(-\vec{a} + \vec{b})$

Подставляем $\vec{DG}$ в выражение для $\vec{EG}$: $\vec{EG} = \vec{ED} + \vec{DG} = \vec{a} + \frac{1}{2}(-\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

Теперь, когда у нас есть $\vec{EG}$, мы можем найти $\vec{EO}$: $\vec{EO} = \frac{1}{2}\vec{EG} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$

Наконец, подставляем найденные выражения для $\vec{DE}$ и $\vec{EO}$ в исходную формулу для $\vec{DO}$: $\vec{DO} = \vec{DE} + \vec{EO} = -\vec{a} + (\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b})$ $\vec{DO} = (-\frac{4}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{a}) + \frac{1}{4}\vec{b} = -\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$

Ответ: $\vec{DO} = -\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$.