Номер 794, страница 208 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 794, страница 208.

Условие.

794 $\square$ Сторона $AB$ треугольника $ABC$ разделена на четыре равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне $BC$. Стороны $AB$ и $AC$ треугольника отсекают на этих параллельных прямых три отрезка, наименьший из которых равен 3,4 см. Найдите два других отрезка.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $AB$ разделена точками $D$, $E$ и $F$ на четыре равные части, считая от вершины $A$. Таким образом, $AD = DE = EF = FB$. Через точки $D$, $E$, $F$ проведены прямые, параллельные стороне $BC$. Пусть эти прямые пересекают сторону $AC$ в точках $D'$, $E'$ и $F'$ соответственно. Мы получили три отрезка: $DD'$, $EE'$ и $FF'$.

Рассмотрим подобные треугольники, образовавшиеся в результате этого построения.

1. Треугольник $ADD'$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle ADD' \sim \triangle ABC$) по двум углам (угол $A$ — общий, $\angle ADD' = \angle ABC$ как соответственные при параллельных прямых $DD'$ и $BC$ и секущей $AB$). Коэффициент подобия $k_1$ равен отношению сторон:

$k_1 = \frac{AD}{AB}$

Так как $AD$ составляет одну из четырех равных частей $AB$, то $AD = \frac{1}{4}AB$. Следовательно, $k_1 = \frac{1}{4}$.

Отношение длин отрезков $DD'$ и $BC$ равно коэффициенту подобия:

$\frac{DD'}{BC} = k_1 = \frac{1}{4} \implies DD' = \frac{1}{4}BC$

2. Аналогично, $\triangle AEE' \sim \triangle ABC$. Длина отрезка $AE = AD + DE = \frac{1}{4}AB + \frac{1}{4}AB = \frac{2}{4}AB$. Коэффициент подобия $k_2 = \frac{AE}{AB} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$\frac{EE'}{BC} = k_2 = \frac{2}{4} \implies EE' = \frac{2}{4}BC$

3. Также, $\triangle AFF' \sim \triangle ABC$. Длина отрезка $AF = AD + DE + EF = \frac{3}{4}AB$. Коэффициент подобия $k_3 = \frac{AF}{AB} = \frac{3}{4}$.

$\frac{FF'}{BC} = k_3 = \frac{3}{4} \implies FF' = \frac{3}{4}BC$

Длины трех отрезков ($DD'$, $EE'$, $FF'$) соотносятся как $\frac{1}{4}BC : \frac{2}{4}BC : \frac{3}{4}BC$, то есть как $1:2:3$.

Наименьший из этих отрезков — тот, который соответствует наименьшему коэффициенту, то есть $DD'$. По условию, его длина равна 3,4 см.

$DD' = 3,4$ см.

Теперь найдем длины двух других отрезков, используя их соотношение с наименьшим:

$EE' = 2 \cdot DD' = 2 \cdot 3,4 = 6,8$ см.

$FF' = 3 \cdot DD' = 3 \cdot 3,4 = 10,2$ см.

Ответ: 6,8 см и 10,2 см.