Номер 798, страница 208 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 798, страница 208.

Условие.

798 Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 48 см, а средняя линия делится диагональю на два отрезка, равные 11 см и 35 см. Найдите углы трапеции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По условию, боковая сторона $AB = CD = 48$ см. Пусть $MN$ — средняя линия трапеции, а $K$ — точка ее пересечения с диагональю $AC$.

Отрезок средней линии, заключенный внутри треугольника $ABC$ (это отрезок $MK$), является его средней линией и равен половине основания $BC$. Аналогично, отрезок $KN$, заключенный внутри треугольника $ACD$, является его средней линией и равен половине основания $AD$.

Следовательно, отрезки, на которые диагональ делит среднюю линию трапеции, равны половинам ее оснований. Меньший отрезок (11 см) соответствует меньшему основанию $BC$, а больший отрезок (35 см) — большему основанию $AD$.

Найдем длины оснований трапеции:

$BC = 2 \cdot 11 = 22$ см.

$AD = 2 \cdot 35 = 70$ см.

Для нахождения углов трапеции проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к основанию $AD$. В равнобедренной трапеции отрезок $AH$, который высота отсекает от большего основания, равен полуразности оснований.

Вычислим длину отрезка $AH$:

$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{70 - 22}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нем известна гипотенуза $AB = 48$ см (боковая сторона трапеции) и катет $AH = 24$ см. Найдем косинус угла $A$, который является острым углом при основании трапеции:

$\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$. Таким образом, $\angle A = 60^\circ$.

Так как трапеция равнобедренная, углы при основаниях равны. Значит, $\angle D = \angle A = 60^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Найдем тупой угол $B$:

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Соответственно, $\angle C = \angle B = 120^\circ$.

Ответ: $60^\circ, 120^\circ, 120^\circ, 60^\circ$.