Номер 795, страница 208 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 795, страница 208.

Условие.

795 ☐ Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от некоторой касательной на 18 см и 12 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $AB$ — её диаметр. Пусть $l$ — касательная к этой окружности. Расстояния от концов диаметра, точек $A$ и $B$, до касательной $l$ — это длины перпендикуляров, опущенных из этих точек на прямую $l$. Обозначим основания этих перпендикуляров как $A_1$ и $B_1$ соответственно. По условию задачи, $AA_1 = 18$ см и $BB_1 = 12$ см.

Касательная имеет с окружностью только одну общую точку, поэтому вся окружность и её диаметр лежат по одну сторону от касательной. Отрезки $AA_1$ и $BB_1$ перпендикулярны прямой $l$, следовательно, они параллельны друг другу ($AA_1 \parallel BB_1$). Фигура $AA_1B_1B$ является трапецией с основаниями $AA_1$ и $BB_1$ и боковыми сторонами $AB$ и $A_1B_1$.

Центр окружности $O$ является серединой диаметра $AB$. Расстояние от центра окружности до касательной равно радиусу $R$. Проведём перпендикуляр $OO_1$ из центра $O$ к прямой $l$. Длина этого отрезка равна радиусу: $OO_1 = R$.

В трапеции $AA_1B_1B$ отрезок $OO_1$ соединяет середину боковой стороны $AB$ (точку $O$) с основанием $A_1B_1$ и параллелен основаниям $AA_1$ и $BB_1$. Следовательно, $OO_1$ является средней линией трапеции.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин её оснований. Таким образом, мы можем найти радиус окружности:

$R = OO_1 = \frac{AA_1 + BB_1}{2}$

Подставляем данные из условия задачи:

$R = \frac{18 + 12}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Диаметр окружности $D$ в два раза больше её радиуса:

$D = 2R = 2 \cdot 15 = 30$ см.

Ответ: 30 см.