Номер 797, страница 208 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 797, страница 208.

Условие.

797 Докажите, что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD \parallel BC$. Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина боковой стороны $CD$. Тогда отрезок $MN$ является средней линией трапеции. Проведем диагонали $AC$ и $BD$. Нам нужно доказать, что средняя линия $MN$ проходит через середины этих диагоналей.

Пусть средняя линия $MN$ пересекает диагональ $AC$ в точке $P$. Рассмотрим треугольник $ABC$.

По определению, точка $M$ является серединой стороны $AB$. По свойству средней линии трапеции, она параллельна ее основаниям, следовательно, $MN \parallel BC$. Так как точка $P$ лежит на отрезке $MN$, то и отрезок $MP$ параллелен стороне $BC$ ($MP \parallel BC$).

Таким образом, в треугольнике $ABC$ через середину стороны $AB$ (точку $M$) проведена прямая, параллельная стороне $BC$. По теореме Фалеса (или по признаку средней линии треугольника), эта прямая пересекает третью сторону $AC$ в её середине. Следовательно, точка $P$ является серединой диагонали $AC$.

Теперь пусть средняя линия $MN$ пересекает диагональ $BD$ в точке $Q$. Рассмотрим треугольник $ABD$.

Точка $M$ является серединой стороны $AB$. Средняя линия трапеции $MN$ параллельна основанию $AD$ ($MN \parallel AD$). Так как точка $Q$ лежит на отрезке $MN$, то и отрезок $MQ$ параллелен стороне $AD$ ($MQ \parallel AD$).

Аналогично предыдущему случаю, в треугольнике $ABD$ через середину стороны $AB$ (точку $M$) проведена прямая, параллельная стороне $AD$. По той же теореме, эта прямая пересекает третью сторону $BD$ в её середине. Следовательно, точка $Q$ является серединой диагонали $BD$.

Мы доказали, что точки пересечения средней линии трапеции с ее диагоналями являются серединами этих диагоналей. Это означает, что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Средняя линия трапеции проходит через середины её диагоналей.