Номер 796, страница 208 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 796, страница 208.

Условие.

796 ☐ Из концов диаметра $CD$ данной окружности проведены перпендикуляры $CC_1$ и $DD_1$ к касательной, не перпендикулярной к диаметру $CD$. Найдите $DD_1$, если $CC_1 = 11$ см, а $CD = 27$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $O$ — центр окружности, а $R$ — её радиус. Так как $CD$ — диаметр, точка $O$ является серединой отрезка $CD$. Радиус окружности равен половине диаметра:

$R = \frac{CD}{2} = \frac{27}{2} = 13.5$ см.

Обозначим касательную прямой $l$. По условию задачи, из точек $C$ и $D$ проведены перпендикуляры $CC_1$ и $DD_1$ к прямой $l$. Это означает, что $CC_1 \perp l$ и $DD_1 \perp l$. Поскольку прямые $CC_1$ и $DD_1$ перпендикулярны одной и той же прямой $l$, они параллельны друг другу ($CC_1 \parallel DD_1$). Следовательно, четырёхугольник $CC_1D_1D$ является трапецией, где $CC_1$ и $DD_1$ — её основания, а $CD$ и $C_1D_1$ — боковые стороны.

Пусть $T$ — точка касания прямой $l$ и окружности. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $OT \perp l$, а длина отрезка $OT$ равна радиусу окружности: $OT = R = 13.5$ см.

Так как отрезки $CC_1$, $OT$ и $DD_1$ перпендикулярны одной и той же прямой $l$, они параллельны между собой: $CC_1 \parallel OT \parallel DD_1$.

В трапеции $CC_1D_1D$ отрезок $OT$ соединяет середину боковой стороны $CD$ (точку $O$) с точкой $T$ на другой боковой стороне $C_1D_1$, и при этом $OT$ параллелен основаниям $CC_1$ и $DD_1$. Это означает, что $OT$ является средней линией трапеции $CC_1D_1D$.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин её оснований. Таким образом, справедливо равенство:

$OT = \frac{CC_1 + DD_1}{2}$

Подставим в эту формулу известные значения: $CC_1 = 11$ см и $OT = 13.5$ см.

$13.5 = \frac{11 + DD_1}{2}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $DD_1$:

$2 \cdot 13.5 = 11 + DD_1$

$27 = 11 + DD_1$

$DD_1 = 27 - 11$

$DD_1 = 16$ см.

Ответ: 16 см.