Номер 791, страница 208 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 791, страница 208.

Условие.

791 Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан произвольный четырехугольник $ABCD$. Обозначим середины его сторон: $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $BC$, $P$ — середина $CD$, $Q$ — середина $DA$.

Необходимо доказать, что отрезки $MP$ и $NQ$, которые соединяют середины противоположных сторон, в точке их пересечения делятся пополам.

Рассмотрим четырехугольник $MNPQ$, образованный серединами сторон исходного четырехугольника. Проведем в четырехугольнике $ABCD$ диагональ $AC$.

В треугольнике $ABC$ отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, $MN$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, отрезок $MN$ параллелен стороне $AC$ и равен ее половине:

$MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $PQ$ соединяет середины сторон $CD$ и $DA$. Таким образом, $PQ$ является средней линией треугольника $ADC$. По свойству средней линии, отрезок $PQ$ также параллелен стороне $AC$ и равен ее половине:

$PQ \parallel AC$ и $PQ = \frac{1}{2}AC$.

Из полученных соотношений следует, что отрезки $MN$ и $PQ$ параллельны друг другу (поскольку оба параллельны $AC$) и равны по длине (поскольку оба равны $\frac{1}{2}AC$):

$MN \parallel PQ$ и $MN = PQ$.

По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Следовательно, четырехугольник $MNPQ$ является параллелограммом. Этот факт также известен как теорема Вариньона.

Отрезки $MP$ и $NQ$ являются диагоналями параллелограмма $MNPQ$. Согласно основному свойству диагоналей параллелограмма, они пересекаются в одной точке и этой точкой делятся пополам.

Таким образом, мы доказали, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, точкой пересечения делятся пополам. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.