Номер 785, страница 207 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 785, страница 207.

Условие.

785 Точки M и N — середины диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD. Докажите, что $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB})$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Выразим вектор $\vec{MN}$ двумя различными способами, используя правило многоугольника для сложения векторов (правило замкнутой ломаной).

1. Рассмотрим ломаную $M \rightarrow A \rightarrow D \rightarrow N$. Вектор, соединяющий начало и конец этой ломаной, равен сумме векторов, составляющих ее звенья:$\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AD} + \vec{DN}$

2. Рассмотрим ломаную $M \rightarrow C \rightarrow B \rightarrow N$. Аналогично первому пункту:$\vec{MN} = \vec{MC} + \vec{CB} + \vec{BN}$

Теперь сложим два полученных равенства:$\vec{MN} + \vec{MN} = (\vec{MA} + \vec{AD} + \vec{DN}) + (\vec{MC} + \vec{CB} + \vec{BN})$$2\vec{MN} = \vec{AD} + \vec{CB} + (\vec{MA} + \vec{MC}) + (\vec{DN} + \vec{BN})$

Проанализируем выражения в скобках. По условию, точка $M$ — середина диагонали $AC$. Это означает, что векторы $\vec{MA}$ и $\vec{MC}$ равны по длине, коллинеарны и противоположно направлены. Следовательно, их сумма равна нулевому вектору:$\vec{MA} + \vec{MC} = \vec{0}$

Аналогично, точка $N$ — середина диагонали $BD$. Векторы $\vec{NB}$ и $\vec{ND}$ равны по длине и направлению ($\vec{NB}=-\vec{BN}$, $\vec{ND}=-\vec{DN}$). Так как N середина, то $\vec{BN}$ и $\vec{ND}$ равны. Вектор $\vec{DN}$ противоположен вектору $\vec{ND}$. Таким образом, $\vec{DN} = -\vec{ND} = -\vec{BN}$. Следовательно, сумма векторов $\vec{DN}$ и $\vec{BN}$ также равна нулевому вектору:$\vec{DN} + \vec{BN} = -\vec{BN} + \vec{BN} = \vec{0}$

Подставим полученные результаты в уравнение для $2\vec{MN}$:$2\vec{MN} = \vec{AD} + \vec{CB} + \vec{0} + \vec{0}$$2\vec{MN} = \vec{AD} + \vec{CB}$

Разделив обе части равенства на 2, получим искомое соотношение:$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{CB})$Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{CB})$ доказано.