Номер 779, страница 206 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 779, страница 206.

Условие.

779 Дан вектор $ \vec{p}=3\vec{a} $, где $ \vec{a} \neq \vec{0} $. Как направлен каждый из векторов $ \vec{a} $, $ -\vec{a} $, $ \frac{1}{2}\vec{a} $, $ -2\vec{a} $, $ 6\vec{a} $ по отношению к вектору $ \vec{p} $? Выразите длины этих векторов через $ |\vec{p}| $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

По условию задачи дан вектор $\vec{p} = 3\vec{a}$, где $\vec{a} \neq \vec{0}$. Это равенство означает, что векторы $\vec{p}$ и $\vec{a}$ коллинеарны (лежат на одной прямой или на параллельных прямых). Направление одного вектора относительно другого определяется знаком скалярного множителя. Если множитель положителен ($k > 0$), векторы сонаправлены (направлены в одну сторону). Если множитель отрицателен ($k < 0$), векторы противоположно направлены.

Из исходного равенства $\vec{p} = 3\vec{a}$ выразим вектор $\vec{a}$ через $\vec{p}$: $\vec{a} = \frac{1}{3}\vec{p}$. Также найдем соотношение между длинами (модулями) этих векторов: $|\vec{p}| = |3\vec{a}| = 3|\vec{a}|$. Отсюда длина вектора $\vec{a}$ выражается через длину вектора $\vec{p}$ как $|\vec{a}| = \frac{1}{3}|\vec{p}|$. Используя эти соотношения, проанализируем каждый из предложенных векторов.

$\vec{a}$

Как мы уже выяснили, $\vec{a} = \frac{1}{3}\vec{p}$. Коэффициент $\frac{1}{3}$ положителен, следовательно, вектор $\vec{a}$ сонаправлен с вектором $\vec{p}$. Длина вектора $\vec{a}$ равна $|\vec{a}| = \frac{1}{3}|\vec{p}|$.
Ответ: Вектор $\vec{a}$ сонаправлен с вектором $\vec{p}$, его длина $|\vec{a}| = \frac{1}{3}|\vec{p}|$.

$-\vec{a}$

Выразим вектор $-\vec{a}$ через $\vec{p}$: $-\vec{a} = -(\frac{1}{3}\vec{p}) = -\frac{1}{3}\vec{p}$. Коэффициент $-\frac{1}{3}$ отрицателен, следовательно, вектор $-\vec{a}$ противоположно направлен вектору $\vec{p}$. Его длина равна $|-\vec{a}| = |-\frac{1}{3}\vec{p}| = \frac{1}{3}|\vec{p}|$.
Ответ: Вектор $-\vec{a}$ противоположно направлен вектору $\vec{p}$, его длина $|-\vec{a}| = \frac{1}{3}|\vec{p}|$.

$\frac{1}{2}\vec{a}$

Выразим вектор $\frac{1}{2}\vec{a}$ через $\vec{p}$: $\frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}\vec{p}) = \frac{1}{6}\vec{p}$. Коэффициент $\frac{1}{6}$ положителен, следовательно, вектор $\frac{1}{2}\vec{a}$ сонаправлен с вектором $\vec{p}$. Его длина равна $|\frac{1}{2}\vec{a}| = |\frac{1}{6}\vec{p}| = \frac{1}{6}|\vec{p}|$.
Ответ: Вектор $\frac{1}{2}\vec{a}$ сонаправлен с вектором $\vec{p}$, его длина $|\frac{1}{2}\vec{a}| = \frac{1}{6}|\vec{p}|$.

$-2\vec{a}$

Выразим вектор $-2\vec{a}$ через $\vec{p}$: $-2\vec{a} = -2(\frac{1}{3}\vec{p}) = -\frac{2}{3}\vec{p}$. Коэффициент $-\frac{2}{3}$ отрицателен, следовательно, вектор $-2\vec{a}$ противоположно направлен вектору $\vec{p}$. Его длина равна $|-2\vec{a}| = |-\frac{2}{3}\vec{p}| = \frac{2}{3}|\vec{p}|$.
Ответ: Вектор $-2\vec{a}$ противоположно направлен вектору $\vec{p}$, его длина $|-2\vec{a}| = \frac{2}{3}|\vec{p}|$.

$6\vec{a}$

Выразим вектор $6\vec{a}$ через $\vec{p}$: $6\vec{a} = 6(\frac{1}{3}\vec{p}) = 2\vec{p}$. Коэффициент $2$ положителен, следовательно, вектор $6\vec{a}$ сонаправлен с вектором $\vec{p}$. Его длина равна $|6\vec{a}| = |2\vec{p}| = 2|\vec{p}|$.
Ответ: Вектор $6\vec{a}$ сонаправлен с вектором $\vec{p}$, его длина $|6\vec{a}| = 2|\vec{p}|$.