Номер 780, страница 206 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 780, страница 206.

Условие.

780 Докажите, что для любого вектора $\vec{a}$ справедливы равенства:

а) $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$;

б) $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

а) Докажем равенство $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$.

Произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ на число $k$ называется такой вектор $\vec{b}$, что:

1. его длина (модуль) равна $|k| \cdot |\vec{a}|$;
2. он сонаправлен вектору $\vec{a}$, если $k > 0$, и противоположно направлен, если $k < 0$.

Если $\vec{a}$ - нулевой вектор или $k=0$, то произведение $k \cdot \vec{a}$ есть нулевой вектор.

Рассмотрим случай, когда $\vec{a}$ не является нулевым вектором. Пусть $k=1$.

1. Найдем длину вектора $1 \cdot \vec{a}$. По определению, она равна $|1| \cdot |\vec{a}| = 1 \cdot |\vec{a}| = |\vec{a}|$. Таким образом, длины векторов $1 \cdot \vec{a}$ и $\vec{a}$ равны.

2. Определим направление вектора $1 \cdot \vec{a}$. Так как $k=1 > 0$, то вектор $1 \cdot \vec{a}$ сонаправлен вектору $\vec{a}$.

Поскольку векторы $1 \cdot \vec{a}$ и $\vec{a}$ имеют одинаковую длину и одинаковое направление, они равны по определению равенства векторов. Следовательно, $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$.

Если $\vec{a}$ - нулевой вектор, то $1 \cdot \vec{0} = \vec{0}$, и равенство также выполняется.

Ответ: Равенство $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$ доказано.

б) Докажем равенство $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$.

Воспользуемся тем же определением произведения вектора на число, что и в пункте а). Пусть $k=-1$.

Рассмотрим случай, когда $\vec{a}$ не является нулевым вектором.

1. Найдем длину вектора $(-1) \cdot \vec{a}$. По определению, она равна $|-1| \cdot |\vec{a}| = 1 \cdot |\vec{a}| = |\vec{a}|$.

2. Определим направление вектора $(-1) \cdot \vec{a}$. Так как $k=-1 < 0$, то вектор $(-1) \cdot \vec{a}$ направлен противоположно вектору $\vec{a}$.

Теперь рассмотрим вектор $-\vec{a}$. По определению, вектор $-\vec{a}$ — это вектор, противоположный вектору $\vec{a}$. Это означает, что он имеет такую же длину, как и вектор $\vec{a}$, но противоположное направление.

Таким образом, мы имеем два вектора: $(-1) \cdot \vec{a}$ и $-\vec{a}$. Сравним их:

• Длина вектора $(-1) \cdot \vec{a}$ равна $|\vec{a}|$. Длина вектора $-\vec{a}$ также равна $|\vec{a}|$. Их длины равны.
• Направление вектора $(-1) \cdot \vec{a}$ противоположно направлению $\vec{a}$. Направление вектора $-\vec{a}$ также противоположно направлению $\vec{a}$. Их направления совпадают.

Поскольку векторы $(-1) \cdot \vec{a}$ и $-\vec{a}$ имеют одинаковую длину и одинаковое направление, они равны. Следовательно, $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$.

Если $\vec{a}$ - нулевой вектор, то $(-1) \cdot \vec{0} = \vec{0}$ и $-\vec{0} = \vec{0}$, так что равенство также выполняется.

Ответ: Равенство $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$ доказано.