Номер 784, страница 206 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 784, страница 206.

Условие.

784 □ В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, а M – такая точка на стороне AD, что $AM = \frac{1}{2}MD$.

Выразите через векторы $\vec{x} = \vec{AD}, \vec{y} = \vec{AB}$ следующие векторы:

a) $\vec{AC}, \vec{AO}, \vec{CO}, \vec{DO}, \vec{AD} + \vec{BC}, \vec{AD} + \vec{CO}, \vec{CO} + \vec{OA};$

б) $\vec{AM}, \vec{MC}, \vec{BM}, \vec{OM}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Дано: $ABCD$ - параллелограмм, $O$ - точка пересечения диагоналей, $M \in AD$, $AM = \frac{1}{2}MD$.
Векторы $\vec{x} = \vec{AD}$ и $\vec{y} = \vec{AB}$.

Основные соотношения векторов в параллелограмме:
$\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{x}$
$\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{y}$
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{y} + \vec{x}$
$\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB} = -\vec{AD} + \vec{AB} = -\vec{x} + \vec{y}$
Диагонали делятся точкой пересечения пополам: $\vec{AO} = \vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{AC}$ и $\vec{BO} = \vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{BD}$.

Найдем соотношение для точки $M$:
Так как $M$ лежит на отрезке $AD$, векторы $\vec{AM}$ и $\vec{MD}$ сонаправлены. Из $AM = \frac{1}{2}MD$ следует $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{MD}$. $\vec{AD} = \vec{AM} + \vec{MD} = \vec{AM} + 2\vec{AM} = 3\vec{AM}$. Отсюда $\vec{AM} = \frac{1}{3}\vec{AD} = \frac{1}{3}\vec{x}$. Тогда $\vec{MD} = \frac{2}{3}\vec{AD} = \frac{2}{3}\vec{x}$.

а)

$\vec{AC}$: По правилу сложения векторов: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{y} + \vec{x}$.
Ответ: $\vec{x} + \vec{y}$.

$\vec{AO}$: Точка $O$ - середина диагонали $AC$, поэтому $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})$.

$\vec{CO}$: Вектор $\vec{CO}$ противоположен вектору $\vec{AO}$. $\vec{CO} = -\vec{AO} = -\frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})$.
Ответ: $-\frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})$.

$\vec{DO}$: Сначала найдем диагональ $\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB} = -\vec{x} + \vec{y}$. Точка $O$ - середина $DB$, значит $\vec{DO} = \frac{1}{2}\vec{DB} = \frac{1}{2}(-\vec{x} + \vec{y})$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\vec{y} - \vec{x})$.

$\vec{AD} + \vec{BC}$: Так как $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{x}$, то сумма равна $\vec{x} + \vec{x} = 2\vec{x}$.
Ответ: $2\vec{x}$.

$\vec{AD} + \vec{CO}$: Подставим известные выражения: $\vec{AD} + \vec{CO} = \vec{x} - \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y}) = \vec{x} - \frac{1}{2}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y} = \frac{1}{2}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y}$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\vec{x} - \vec{y})$.

$\vec{CO} + \vec{OA}$: По правилу сложения векторов (правило треугольника): $\vec{CO} + \vec{OA} = \vec{CA}$. Вектор $\vec{CA}$ противоположен вектору $\vec{AC}$, поэтому $\vec{CA} = -\vec{AC} = -(\vec{x} + \vec{y})$.
Ответ: $-(\vec{x} + \vec{y})$.

б)

$\vec{AM}$: Как было найдено ранее, $\vec{AM} = \frac{1}{3}\vec{AD} = \frac{1}{3}\vec{x}$.
Ответ: $\frac{1}{3}\vec{x}$.

$\vec{MC}$: Выразим по правилу треугольника: $\vec{MC} = \vec{MD} + \vec{DC}$. Подставляем $\vec{MD} = \frac{2}{3}\vec{x}$ и $\vec{DC} = \vec{y}$. Получаем $\vec{MC} = \frac{2}{3}\vec{x} + \vec{y}$.
Ответ: $\frac{2}{3}\vec{x} + \vec{y}$.

$\vec{BM}$: Выразим по правилу треугольника: $\vec{BM} = \vec{BA} + \vec{AM}$. Так как $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{y}$, то $\vec{BM} = -\vec{y} + \frac{1}{3}\vec{x}$.
Ответ: $\frac{1}{3}\vec{x} - \vec{y}$.

$\vec{OM}$: Выразим через сумму векторов: $\vec{OM} = \vec{OA} + \vec{AM}$. Вектор $\vec{OA} = -\vec{AO} = -\frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})$. Тогда $\vec{OM} = -\frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y}) + \frac{1}{3}\vec{x} = -\frac{1}{2}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y} + \frac{1}{3}\vec{x} = (-\frac{3}{6} + \frac{2}{6})\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y} = -\frac{1}{6}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y}$.
Ответ: $-\frac{1}{6}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y}$.