Номер 12, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Вопросы к главе 9 - номер 12, страница 209.

Условие.

12 Какой вектор называется разностью двух векторов? Постройте разность двух данных векторов.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Разностью двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой третий вектор $\vec{c}$, который в сумме с вектором $\vec{b}$ дает вектор $\vec{a}$. Это можно записать в виде равенства: $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$, которое равносильно равенству $\vec{b} + \vec{c} = \vec{a}$.

Альтернативное определение: разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — это сумма вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного вектору $\vec{b}$ (то есть вектора $-\vec{b}$). Формально это записывается так: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$.

Ответ: Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется вектор, сумма которого с вектором $\vec{b}$ равна вектору $\vec{a}$.

---

Для построения разности двух данных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ наиболее наглядным является следующий способ, основанный на первом определении:
1. Из произвольной точки O (начала) откладываем оба вектора: $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.
2. Соединяем концы полученных векторов — точки B и A.
3. Вектор разности $\vec{a} - \vec{b}$ будет направлен из конца вычитаемого вектора (точка B) в конец уменьшаемого вектора (точка A). Таким образом, искомый вектор — это $\vec{BA}$.

Это правило легко проверить с помощью правила сложения векторов для треугольника OAB: $\vec{OB} + \vec{BA} = \vec{OA}$. Подставив наши векторы, получаем $\vec{b} + \vec{BA} = \vec{a}$, откуда по определению разности следует, что $\vec{BA} = \vec{a} - \vec{b}$.

Также можно использовать второй способ, основанный на альтернативном определении:
1. Строим вектор $\vec{a}$.
2. Строим вектор $-\vec{b}$, который имеет ту же длину, что и $\vec{b}$, но направлен в противоположную сторону.
3. Складываем векторы $\vec{a}$ и $-\vec{b}$ по правилу треугольника (отложив начало вектора $-\vec{b}$ от конца вектора $\vec{a}$) или по правилу параллелограмма. Полученный в результате сложения вектор и будет разностью $\vec{a} - \vec{b}$.

Ответ: Чтобы построить разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, нужно отложить их из одной точки O так, чтобы получилось $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$. Вектор $\vec{BA}$, проведенный из конца вектора $\vec{b}$ в конец вектора $\vec{a}$, будет их разностью.