Номер 16, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Вопросы к главе 9 - номер 16, страница 209.

Условие.

16 Могут ли векторы $\vec{a}$ и $\vec{ka}$ быть неколлинеарными?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

По определению, два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Алгебраический признак коллинеарности для двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ заключается в существовании такого числа (скаляра) $k$, что выполняется равенство $\vec{b} = k\vec{a}$. При этом, если хотя бы один из векторов является нулевым, они также по определению считаются коллинеарными.

В данном вопросе рассматриваются два вектора: $\vec{a}$ и $k\vec{a}$. Второй вектор получен из первого путем умножения на скаляр $k$. По самому определению коллинеарности, если один вектор можно представить как другой вектор, умноженный на число, то эти векторы коллинеарны.

Рассмотрим все возможные случаи:

1. Пусть вектор $\vec{a}$ — ненулевой вектор ($\vec{a} \neq \vec{0}$).
   • Если $k > 0$, то вектор $k\vec{a}$ имеет то же направление, что и вектор $\vec{a}$ (векторы сонаправлены). Следовательно, они коллинеарны.
   • Если $k < 0$, то вектор $k\vec{a}$ имеет направление, противоположное направлению вектора $\vec{a}$ (векторы противоположно направлены). Следовательно, они также коллинеарны.
   • Если $k = 0$, то $k\vec{a} = 0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$ (нулевой вектор). Нулевой вектор по определению коллинеарен любому вектору, в том числе и вектору $\vec{a}$.
2. Пусть вектор $\vec{a}$ — нулевой вектор ($\vec{a} = \vec{0}$).
   Тогда для любого числа $k$ произведение $k\vec{a} = k\vec{0} = \vec{0}$. В этом случае оба вектора являются нулевыми и, следовательно, коллинеарны.

Таким образом, во всех без исключения случаях вектор $k\vec{a}$ является коллинеарным вектору $\vec{a}$. Это следует непосредственно из определения операции умножения вектора на число. Следовательно, векторы $\vec{a}$ и $k\vec{a}$ не могут быть неколлинеарными.

Ответ: Нет, не могут.