Номер 801, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 801, страница 209.

Условие.

801 Докажите, что для любых векторов x и y справедливы неравенства $||\vec{x}| - |\vec{y}|| \leq |\vec{x} + \vec{y}| \leq |\vec{x}| + |\vec{y}|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Требуется доказать двойное неравенство $|\vec{x}| - |\vec{y}| \le |\vec{x} + \vec{y}| \le |\vec{x}| + |\vec{y}|$. Докажем каждую его часть отдельно.

1. Доказательство неравенства $|\vec{x} + \vec{y}| \le |\vec{x}| + |\vec{y}|$ (неравенство треугольника).

Поскольку обе части неравенства являются неотрицательными, мы можем возвести их в квадрат. Неравенство $|\vec{x} + \vec{y}|^2 \le (|\vec{x}| + |\vec{y}|)^2$ будет равносильно исходному.

Воспользуемся свойством скалярного произведения, согласно которому квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату: $|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}$.

Преобразуем левую часть неравенства:

$|\vec{x} + \vec{y}|^2 = (\vec{x} + \vec{y}) \cdot (\vec{x} + \vec{y}) = \vec{x} \cdot \vec{x} + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + \vec{y} \cdot \vec{y} = |\vec{x}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + |\vec{y}|^2$.

Правая часть после раскрытия скобок выглядит так:

$(|\vec{x}| + |\vec{y}|)^2 = |\vec{x}|^2 + 2|\vec{x}||\vec{y}| + |\vec{y}|^2$.

Таким образом, неравенство принимает вид:

$|\vec{x}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + |\vec{y}|^2 \le |\vec{x}|^2 + 2|\vec{x}||\vec{y}| + |\vec{y}|^2$.

После вычитания из обеих частей $|\vec{x}|^2$ и $|\vec{y}|^2$ и деления на 2, получаем:

$\vec{x} \cdot \vec{y} \le |\vec{x}||\vec{y}|$.

Это неравенство (известное как неравенство Коши — Буняковского) всегда справедливо. По определению, скалярное произведение $\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}||\vec{y}|\cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между векторами. Так как косинус любого угла не превышает 1 ($\cos\alpha \le 1$), то и $\vec{x} \cdot \vec{y} \le |\vec{x}||\vec{y}|$. Таким образом, правая часть исходного неравенства доказана.

2. Доказательство неравенства $|\vec{x}| - |\vec{y}| \le |\vec{x} + \vec{y}|$.

Для доказательства этой части воспользуемся уже доказанным неравенством треугольника. Представим вектор $\vec{x}$ как сумму векторов $(\vec{x} + \vec{y})$ и $(-\vec{y})$:

$\vec{x} = (\vec{x} + \vec{y}) + (-\vec{y})$

Теперь применим к модулю вектора $\vec{x}$ неравенство треугольника:

$|\vec{x}| = |(\vec{x} + \vec{y}) + (-\vec{y})| \le |\vec{x} + \vec{y}| + |-\vec{y}|$

Так как модуль вектора не зависит от его направления, то $|-\vec{y}| = |\vec{y}|$. Подставив это в неравенство, получим:

$|\vec{x}| \le |\vec{x} + \vec{y}| + |\vec{y}|$

Перенесем $|\vec{y}|$ в левую часть неравенства, изменив знак:

$|\vec{x}| - |\vec{y}| \le |\vec{x} + \vec{y}|$

Таким образом, левая часть исходного неравенства также доказана.

Мы доказали оба неравенства: $|\vec{x} + \vec{y}| \le |\vec{x}| + |\vec{y}|$ и $|\vec{x}| - |\vec{y}| \le |\vec{x} + \vec{y}|$. Объединив их, получаем требуемое двойное неравенство.

Ответ: Неравенства $|\vec{x}| - |\vec{y}| \le |\vec{x} + \vec{y}| \le |\vec{x}| + |\vec{y}|$ доказаны.