Номер 805, страница 210 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 805, страница 210.

Условие.

805 Три точки A, B и C расположены так, что $\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Докажите, что для любой точки O справедливо равенство

$\overrightarrow{OB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OC}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

По условию задачи дано векторное равенство $\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Для доказательства искомого равенства выразим векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AB}$ через радиус-векторы с началом в произвольной точке $O$. По правилу вычитания векторов имеем:
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}$
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$

Подставим эти выражения в исходное равенство:
$\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA})$

Теперь необходимо преобразовать полученное уравнение, чтобы выразить вектор $\overrightarrow{OB}$. Умножим обе части уравнения на 2:
$2(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}) = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$
Раскроем скобки в левой части:
$2\overrightarrow{OC} - 2\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$

Сгруппируем все члены, содержащие $\overrightarrow{OB}$, в одной части уравнения, а остальные — в другой. Для этого перенесём $-2\overrightarrow{OB}$ в правую часть, а $-\overrightarrow{OA}$ в левую, изменив их знаки:
$2\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OB}$
Сложим подобные векторы:
$\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OB}$

Наконец, чтобы выразить $\overrightarrow{OB}$, разделим обе части равенства на 3:
$\overrightarrow{OB} = \frac{\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OC}}{3}$
Что можно записать в виде:
$\overrightarrow{OB} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OC}$

Таким образом, мы получили равенство, которое требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\overrightarrow{OB} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OC}$ доказано.