Номер 809, страница 210 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 809, страница 210.

Условие.

809 Один из углов прямоугольной трапеции равен 120°. Найдите её среднюю линию, если меньшая диагональ и большая боковая сторона трапеции равны $a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, у которой основания AD и BC параллельны ($AD \parallel BC$), а боковая сторона AB перпендикулярна основаниям ($AB \perp AD$ и $AB \perp BC$). Из этого следует, что углы при вершинах A и B прямые: $\angle A = \angle B = 90^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне CD, равна $180^\circ$, то есть $\angle C + \angle D = 180^\circ$. По условию, один из углов трапеции равен $120^\circ$. Этот угол не может быть прямым, значит, это либо $\angle C$, либо $\angle D$. Угол $120^\circ$ является тупым. В трапеции тупой угол при боковой стороне, не перпендикулярной основаниям, может находиться только при меньшем основании. Предположим, что AD — большее основание, а BC — меньшее. Тогда тупым будет угол C. Таким образом, $\angle C = 120^\circ$. Тогда угол D равен $\angle D = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Определим, какая боковая сторона и какая диагональ являются бóльшими.

Боковые стороны — это AB и CD. Проведем высоту CH из вершины C на основание AD. Получим прямоугольный треугольник CHD, в котором CD является гипотенузой, а CH — катетом. Так как ABCH — прямоугольник, то $CH = AB$. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катета, следовательно, $CD > CH = AB$. Значит, CD — бóльшая боковая сторона. По условию, $CD = a$.

Диагонали трапеции — это AC и BD. Сравним их длины, используя теорему Пифагора для прямоугольных треугольников, образованных диагоналями, высотой и основаниями. В прямоугольном треугольнике ABC $AC^2 = AB^2 + BC^2$. В прямоугольном треугольнике ABD $BD^2 = AB^2 + AD^2$. Так как AD — большее основание ($AD > BC$), то $AD^2 > BC^2$, и, следовательно, $BD^2 > AC^2$, что означает $BD > AC$. Значит, AC — меньшая диагональ. По условию, $AC = a$.

Итак, мы имеем трапецию ABCD, в которой $\angle A = \angle B = 90^\circ$, $\angle C = 120^\circ$, $\angle D = 60^\circ$. Также известно, что $CD = a$ и $AC = a$.

Рассмотрим треугольник ACD. В нем известны две стороны $AC = a$ и $CD = a$, а также угол при вершине D, $\angle ADC = 60^\circ$. Поскольку $AC = CD$, треугольник ACD является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны. Угол, противолежащий стороне CD — это $\angle CAD$. Угол, противолежащий стороне AC — это $\angle ADC$. Следовательно, $\angle CAD = \angle ADC$.

Так как $\angle ADC = 60^\circ$, то и $\angle CAD = 60^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle ACD = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ADC) = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$. Все углы треугольника ACD равны $60^\circ$, значит, он является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны: $AD = AC = CD = a$. Мы нашли длину большего основания: $AD = a$.

Теперь найдем длину меньшего основания BC. Угол трапеции при вершине C равен $\angle BCD = 120^\circ$. Этот угол состоит из двух углов: $\angle BCA$ и $\angle ACD$. Мы нашли, что $\angle ACD = 60^\circ$. Тогда $\angle BCA = \angle BCD - \angle ACD = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (угол B прямой). В нем известна гипотенуза $AC = a$ и угол $\angle BCA = 60^\circ$. Катет BC, прилежащий к углу $60^\circ$, можно найти по формуле:$BC = AC \cdot \cos(\angle BCA) = a \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$. Таким образом, длина меньшего основания $BC = \frac{a}{2}$.

Средняя линия трапеции, обозначим ее m, вычисляется как полусумма оснований:$m = \frac{AD + BC}{2}$Подставим найденные значения оснований:$m = \frac{a + \frac{a}{2}}{2} = \frac{\frac{3a}{2}}{2} = \frac{3a}{4}$.

Ответ: $\frac{3a}{4}$