Номер 811, страница 211 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 5 - номер 811, страница 211.

Условие.

811 Дан выпуклый шестиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$, все углы которого равны. Докажите, что

$A_1A_2 - A_4A_5 = A_5A_6 - A_2A_3 = A_3A_4 - A_6A_1$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть дан выпуклый шестиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$, все углы которого равны. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле $(n-2) \cdot 180^\circ$. Для шестиугольника ($n=6$) эта сумма составляет $(6-2) \cdot 180^\circ = 720^\circ$. Поскольку все углы шестиугольника равны, каждый внутренний угол равен $720^\circ / 6 = 120^\circ$.

Рассмотрим прямые, на которых лежат некоторые стороны шестиугольника. Продлим стороны $A_1A_2$, $A_3A_4$ и $A_5A_6$. Эти три прямые, попарно пересекаясь, образуют большой треугольник. Обозначим его вершины как $P, Q, R$. Пусть:

• $P$ — точка пересечения прямых, содержащих стороны $A_5A_6$ и $A_1A_2$.
• $Q$ — точка пересечения прямых, содержащих стороны $A_1A_2$ и $A_3A_4$.
• $R$ — точка пересечения прямых, содержащих стороны $A_3A_4$ и $A_5A_6$.

Исходный шестиугольник оказывается расположен внутри треугольника $PQR$. В углах этого большого треугольника образуются три малых треугольника: $\triangle PA_1A_6$, $\triangle QA_2A_3$ и $\triangle RA_4A_5$. Докажем, что они равносторонние.

Рассмотрим, например, $\triangle QA_2A_3$. Угол этого треугольника при вершине $A_2$ (т.е. $\angle QA_2A_3$) является внешним углом шестиугольника при вершине $A_2$, так как он смежен с внутренним углом $\angle A_1A_2A_3$. Следовательно, его величина равна $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Аналогично, угол при вершине $A_3$ ($\angle QA_3A_2$) является внешним углом шестиугольника и также равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Поскольку два угла в треугольнике $\triangle QA_2A_3$ равны $60^\circ$, то и третий угол $\angle A_2QA_3$ равен $60^\circ$. Таким образом, $\triangle QA_2A_3$ — равносторонний, и $QA_2 = QA_3 = A_2A_3$.

Точно так же доказывается, что треугольники $\triangle PA_6A_1$ и $\triangle RA_4A_5$ являются равносторонними. Из этого следует:
$PA_1 = PA_6 = A_6A_1$
$RA_4 = RA_5 = A_4A_5$

Углы большого треугольника $PQR$ при вершинах $P, Q, R$ совпадают с третьими углами малых треугольников, которые, как мы показали, равны $60^\circ$. Следовательно, треугольник $PQR$ также является равносторонним, и его стороны равны: $PQ = QR = RP$.

Теперь выразим длины сторон треугольника $PQR$ через длины сторон шестиугольника.

• $PQ = PA_1 + A_1A_2 + A_2Q$. Используя равенства для сторон малых треугольников, получаем: $PQ = A_6A_1 + A_1A_2 + A_2A_3$.
• $QR = QA_3 + A_3A_4 + A_4R$. Получаем: $QR = A_2A_3 + A_3A_4 + A_4A_5$.
• $RP = RA_5 + A_5A_6 + A_6P$. Получаем: $RP = A_4A_5 + A_5A_6 + A_6A_1$.

Приравняем длины сторон равностороннего треугольника $PQR$.
Из равенства $PQ = QR$ следует:
$A_6A_1 + A_1A_2 + A_2A_3 = A_2A_3 + A_3A_4 + A_4A_5$
$A_6A_1 + A_1A_2 = A_3A_4 + A_4A_5$
$A_1A_2 - A_4A_5 = A_3A_4 - A_6A_1$. (1)

Из равенства $QR = RP$ следует:
$A_2A_3 + A_3A_4 + A_4A_5 = A_4A_5 + A_5A_6 + A_6A_1$
$A_2A_3 + A_3A_4 = A_5A_6 + A_6A_1$
$A_3A_4 - A_6A_1 = A_5A_6 - A_2A_3$. (2)

Объединяя результаты (1) и (2), мы получаем требуемое тройное равенство:
$A_1A_2 - A_4A_5 = A_5A_6 - A_2A_3 = A_3A_4 - A_6A_1$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.