Номер 818, страница 211 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 5 - номер 818, страница 211.

Условие.

818 Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают его на четыре треугольника, периметры которых равны. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Обозначим длины сторон четырёхугольника: $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$. Обозначим длины отрезков диагоналей: $AO=o_a$, $BO=o_b$, $CO=o_c$, $DO=o_d$.

Диагонали разбивают четырёхугольник на четыре треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$. По условию, их периметры равны. Запишем это в виде системы равенств:

$P(\triangle AOB) = a + o_a + o_b$
$P(\triangle BOC) = b + o_b + o_c$
$P(\triangle COD) = c + o_c + o_d$
$P(\triangle DOA) = d + o_d + o_a$

Так как все периметры равны, мы можем приравнять периметры соседних треугольников:

1. $P(\triangle AOB) = P(\triangle BOC) \implies a + o_a + o_b = b + o_b + o_c \implies a + o_a = b + o_c$

2. $P(\triangle BOC) = P(\triangle COD) \implies b + o_b + o_c = c + o_c + o_d \implies b + o_b = c + o_d$

3. $P(\triangle COD) = P(\triangle DOA) \implies c + o_c + o_d = d + o_d + o_a \implies c + o_c = d + o_a$

4. $P(\triangle DOA) = P(\triangle AOB) \implies d + o_d + o_a = a + o_a + o_b \implies d + o_d = a + o_b$

Из равенства (1) выразим $o_c - o_a = a - b$.

Из равенства (3) выразим $o_a - o_c = c - d$, или $o_c - o_a = d - c$.

Приравнивая выражения для $o_c - o_a$, получаем: $a - b = d - c$, что равносильно $a + c = b + d$. Это означает, что суммы длин противоположных сторон четырёхугольника равны.

Теперь рассмотрим другие пары равенств. Сложим равенства (2) и (4):

$(b + o_b) + (d + o_d) = (c + o_d) + (a + o_b)$

$b + d + o_b + o_d = a + c + o_b + o_d$

Вычитая из обеих частей $o_b + o_d$, получаем $b + d = a + c$. Это то же самое равенство, которое мы уже получили.

Чтобы получить новое соотношение, рассмотрим равенства периметров треугольников, имеющих только одну общую вершину, например $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

$P(\triangle AOB) = P(\triangle COD) \implies a + o_a + o_b = c + o_c + o_d$

А также $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$:

$P(\triangle BOC) = P(\triangle DOA) \implies b + o_b + o_c = d + o_d + o_a$

Сложим левые и правые части этих двух равенств:

$(a + o_a + o_b) + (b + o_b + o_c) = (c + o_c + o_d) + (d + o_d + o_a)$

$a + b + o_a + o_c + 2o_b = c + d + o_c + o_a + 2o_d$

Упрощая, получаем: $a + b + 2o_b = c + d + 2o_d$, или $a+b-c-d = 2(o_d - o_b)$.

Из равенств (2) и (4) мы знаем, что $o_d - o_b = b - c$ и $o_d - o_b = a - d$.

Подставим $o_d - o_b = b - c$ в полученное выше равенство:

$a+b-c-d = 2(b-c)$

$a+b-c-d = 2b-2c$

$a+c-d-b = 0 \implies a+c = b+d$. Опять то же самое.

Вернемся к системе из четырех уравнений и используем другой подход. Сложим равенства (1) и (3), а также (2) и (4).

$(a + o_a) + (c + o_c) = (b + o_c) + (d + o_a) \implies a+c = b+d$.

Вычтем из равенства (1) равенство (3):

$(a + o_a) - (c + o_c) = (b + o_c) - (d + o_a)$

$a - c + o_a - o_c = b - d - o_c + o_a$

$a - c = b - d \implies a+d = b+c$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений для длин сторон:

$\begin{cases} a + c = b + d \\ a + d = b + c \end{cases}$

Вычтем из первого уравнения второе:

$(a + c) - (a + d) = (b + d) - (b + c)$

$c - d = d - c$

$2c = 2d \implies c = d$.

Подставим $c = d$ в первое уравнение системы: $a + c = b + c \implies a = b$.

Итак, мы доказали, что $a=b$ и $c=d$. Это означает, что смежные стороны попарно равны.

Теперь вернемся к исходным упрощенным равенствам. Из $a+o_a = b+o_c$ и $a=b$ следует, что $o_a = o_c$. Это означает, что диагональ $AC$ делится точкой пересечения пополам.

Аналогично, из $b+o_b = c+o_d$ и $c=d$, $a=b$ следует $a+o_b = d+o_d$. Так как $a=d$, получаем $o_b=o_d$. Это означает, что и диагональ $BD$ делится точкой пересечения пополам.

Четырёхугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Таким образом, $ABCD$ — параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть $a=c$ и $b=d$.

Сопоставим это с ранее доказанными фактами:

Мы доказали, что $a=b$.

Мы знаем, что $a=c$ (как у параллелограмма).

Мы доказали, что $c=d$.

Из этих равенств следует, что $a = b = c = d$.

Четырёхугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что данный четырёхугольник является ромбом.