Номер 825, страница 212 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 5 - номер 825, страница 212.

Условие.

825 Внутри квадрата ABCD взята такая точка M, что $\angle MAB = 60^\circ$, $\angle MCD = 15^\circ$. Найдите $\angle MBC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 10.

Рассмотрим квадрат $ABCD$ и построим внутри него на стороне $AB$ равносторонний треугольник $ABK$.

По определению равностороннего треугольника, $AB = BK = AK$ и $\angle KAB = \angle ABK = \angle BKA = 60^\circ$. По условию задачи дано, что $\angle MAB = 60^\circ$. Поскольку точки $M$ и $K$ обе находятся внутри квадрата, они лежат по одну сторону от прямой $AB$. Следовательно, лучи $AM$ и $AK$ совпадают, а это значит, что точка $M$ лежит на отрезке $AK$.

Теперь рассмотрим треугольник $BCK$. Так как $ABCD$ — квадрат, то $BC = AB$. Так как $ABK$ — равносторонний треугольник, то $AB = BK$. Отсюда следует, что $BC = BK$, то есть треугольник $BCK$ является равнобедренным.

Найдем угол при вершине $B$ этого треугольника: $\angle KBC = \angle ABC - \angle ABK$. Угол $\angle ABC$ является углом квадрата, поэтому он равен $90^\circ$. Угол $\angle ABK$ является углом равностороннего треугольника, поэтому он равен $60^\circ$. $\angle KBC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Так как $\triangle BCK$ равнобедренный, углы при его основании $CK$ равны: $\angle BCK = \angle BKC = (180^\circ - \angle KBC) / 2 = (180^\circ - 30^\circ) / 2 = 150^\circ / 2 = 75^\circ$.

Теперь мы можем найти угол $\angle KCD$. $\angle KCD = \angle BCD - \angle BCK$. Угол $\angle BCD$ является углом квадрата и равен $90^\circ$. $\angle KCD = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ$.

Таким образом, мы видим, что для построенной точки $K$ выполняются оба условия, заданные для точки $M$:

• $\angle KAB = 60^\circ$ (по построению)
• $\angle KCD = 15^\circ$ (как мы только что вычислили)

Поскольку положение точки внутри квадрата однозначно определяется этими двумя условиями (как точка пересечения двух лучей), мы можем заключить, что точки $M$ и $K$ совпадают.

Следовательно, искомый угол $\angle MBC$ равен углу $\angle KBC$, который мы уже вычислили. $\angle MBC = \angle KBC = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.