Номер 830, страница 212 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 6 - номер 830, страница 212.

Условие.

830 На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $M$ и $K$. Отрезки $AK$ и $BM$ пересекаются в точке $O$. Найдите площадь треугольника $CMK$, если площади треугольников $OMA$, $OAB$ и $OBK$ равны соответственно $S_1$, $S_2$, $S_3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 10.

Обозначим площади заданных треугольников: $S_{OMA} = S_1$, $S_{OAB} = S_2$, $S_{OBK} = S_3$. Пусть искомая площадь треугольника $CMK$ равна $S_x$, а площадь треугольника $OMK$ равна $S_4$.

Воспользуемся свойством, что отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту, равно отношению длин их оснований.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle KOM$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $M$ к прямой $AK$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению оснований:$$ \frac{S_{AOM}}{S_{KOM}} = \frac{AO}{OK} \implies \frac{S_1}{S_4} = \frac{AO}{OK} $$

Аналогично, для треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle KOB$, имеющих общую высоту из вершины $B$ к прямой $AK$:$$ \frac{S_{AOB}}{S_{KOB}} = \frac{AO}{OK} \implies \frac{S_2}{S_3} = \frac{AO}{OK} $$

Приравнивая два выражения для отношения $\frac{AO}{OK}$, получаем:$$ \frac{S_1}{S_4} = \frac{S_2}{S_3} $$Отсюда находим площадь треугольника $\triangle OMK$:$$ S_4 = \frac{S_1 S_3}{S_2} $$Это известный факт: в выпуклом четырехугольнике, разделенном диагоналями на четыре треугольника, произведения площадей противоположных треугольников равны. В нашем случае это можно применить к четырехугольнику $ABKM$ с пересекающимися диагоналями $AK$ и $BM$, что дает $S_{OAB} \cdot S_{OMK} = S_{OAM} \cdot S_{OBK}$, или $S_2 S_4 = S_1 S_3$.

Теперь найдем $S_x$. Рассмотрим отношение отрезков $AM$ и $MC$ на стороне $AC$. Выразим это отношение через площади двумя способами.

1. Треугольники $\triangle AMK$ и $\triangle CMK$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $K$ к стороне $AC$. Поэтому:$$ \frac{AM}{MC} = \frac{S_{AMK}}{S_{CMK}} = \frac{S_{AOM} + S_{OMK}}{S_{CMK}} = \frac{S_1 + S_4}{S_x} $$

2. Треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к стороне $AC$. Поэтому:$$ \frac{AM}{MC} = \frac{S_{ABM}}{S_{CBM}} = \frac{S_{AOB} + S_{AOM}}{S_{COB} + S_{CMO}} $$Площадь $\triangle CBM$ можно представить как сумму площадей треугольников, на которые он разбит отрезком $BK$: $S_{CBM} = S_{CMK} + S_{BMK}$. В свою очередь, $S_{BMK} = S_{OBK} + S_{OMK}$. Таким образом:$$ S_{CBM} = S_{CMK} + S_{OBK} + S_{OMK} = S_x + S_3 + S_4 $$Тогда:$$ \frac{AM}{MC} = \frac{S_1 + S_2}{S_3 + S_4 + S_x} $$

Приравняем два полученных выражения для отношения $\frac{AM}{MC}$:$$ \frac{S_1 + S_4}{S_x} = \frac{S_1 + S_2}{S_3 + S_4 + S_x} $$$$ (S_1 + S_4)(S_3 + S_4 + S_x) = S_x(S_1 + S_2) $$Раскроем скобки и выразим $S_x$:$$ S_1S_3 + S_1S_4 + S_1S_x + S_3S_4 + S_4^2 + S_4S_x = S_1S_x + S_2S_x $$$$ S_1S_3 + S_1S_4 + S_3S_4 + S_4^2 = S_2S_x - S_4S_x $$$$ (S_1 + S_4)(S_3 + S_4) = S_x(S_2 - S_4) $$$$ S_x = \frac{(S_1 + S_4)(S_3 + S_4)}{S_2 - S_4} $$

Подставим в это выражение найденное ранее значение $S_4 = \frac{S_1 S_3}{S_2}$:$$ S_x = \frac{\left(S_1 + \frac{S_1 S_3}{S_2}\right)\left(S_3 + \frac{S_1 S_3}{S_2}\right)}{S_2 - \frac{S_1 S_3}{S_2}} $$Вынесем общие множители в числителе:$$ S_x = \frac{S_1\left(1 + \frac{S_3}{S_2}\right) S_3\left(1 + \frac{S_1}{S_2}\right)}{\frac{S_2^2 - S_1 S_3}{S_2}} $$$$ S_x = \frac{S_1 S_3 \left(\frac{S_2+S_3}{S_2}\right) \left(\frac{S_2+S_1}{S_2}\right)}{\frac{S_2^2 - S_1 S_3}{S_2}} $$$$ S_x = \frac{\frac{S_1 S_3 (S_1+S_2)(S_2+S_3)}{S_2^2}}{\frac{S_2^2 - S_1 S_3}{S_2}} $$$$ S_x = \frac{S_1 S_3 (S_1+S_2)(S_2+S_3)}{S_2^2} \cdot \frac{S_2}{S_2^2 - S_1 S_3} $$$$ S_x = \frac{S_1 S_3 (S_1+S_2)(S_2+S_3)}{S_2 (S_2^2 - S_1 S_3)} $$Ответ: $S_{CMK} = \frac{S_1 S_3 (S_1+S_2)(S_2+S_3)}{S_2 (S_2^2 - S_1 S_3)}$