Номер 824, страница 212 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 5 - номер 824, страница 212.

Условие.

824. На рисунке 268 изображены три квадрата. Найдите сумму $\angle BAE + \angle CAE + \angle DAE$.

Рис. 268

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть вершина A совпадает с началом координат (0, 0), а основание AE лежит на положительной части оси Ox. Поскольку фигура состоит из трех одинаковых квадратов, расположенных вплотную друг к другу, мы можем определить координаты остальных вершин. Пусть сторона каждого квадрата равна $a$.

Тогда координаты вершин B, C и D будут следующими:

• Вершина B является правым верхним углом первого квадрата, ее координаты $B(a, a)$.
• Вершина C является правым верхним углом второго квадрата, ее координаты $C(2a, a)$.
• Вершина D является правым верхним углом третьего квадрата, ее координаты $D(3a, a)$.

Нам необходимо найти сумму трех углов: $\angle BAE$, $\angle CAE$ и $\angle DAE$. Каждый из этих углов образован соответствующим отрезком (AB, AC или AD) и лучом AE, который совпадает с осью Ox.

Найдем величину каждого угла, используя тангенс угла наклона отрезка к оси Ox. Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике, образованном вершиной, ее проекцией на ось Ox и началом координат.

1. Угол $\angle BAE$
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точками $A(0,0)$, $B(a,a)$ и проекцией B на ось Ox, точкой $F(a,0)$. Тангенс угла $\angle BAE$ равен:$\tan(\angle BAE) = \frac{BF}{AF} = \frac{a}{a} = 1$Поскольку угол острый, $\angle BAE = \arctan(1) = 45^\circ$.

2. Угол $\angle CAE$
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точками $A(0,0)$, $C(2a,a)$ и проекцией C на ось Ox, точкой $G(2a,0)$. Тангенс угла $\angle CAE$ равен:$\tan(\angle CAE) = \frac{CG}{AG} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$Следовательно, $\angle CAE = \arctan\left(\frac{1}{2}\right)$.

3. Угол $\angle DAE$
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точками $A(0,0)$, $D(3a,a)$ и проекцией D на ось Ox, точкой $E(3a,0)$. Тангенс угла $\angle DAE$ равен:$\tan(\angle DAE) = \frac{DE}{AE} = \frac{a}{3a} = \frac{1}{3}$Следовательно, $\angle DAE = \arctan\left(\frac{1}{3}\right)$.

Теперь найдем искомую сумму углов $S = \angle BAE + \angle CAE + \angle DAE$:$S = 45^\circ + \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right)$

Для вычисления суммы $\arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right)$ воспользуемся формулой сложения арктангенсов, которая следует из формулы тангенса суммы: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$. Пусть $\theta = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right)$. Тогда:$\tan(\theta) = \tan\left(\arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right)\right) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{3+2}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1$Так как углы $\arctan(1/2)$ и $\arctan(1/3)$ острые, их сумма находится в интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$. Поскольку тангенс суммы положителен и равен 1, сумма углов равна $45^\circ$. Таким образом, $\arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right) = 45^\circ$.

Подставим полученное значение в выражение для суммы $S$:$S = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.