Номер 820, страница 211 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 5 - номер 820, страница 211.

Условие.

820 Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна к основаниям. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Доказательство того, что прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна к основаниям.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD > BC$. По определению равнобедренной трапеции, ее боковые стороны равны: $AB = CD$.

Пусть $M$ – середина меньшего основания $BC$, а $N$ – середина большего основания $AD$.

Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$. Так как $BC \parallel AD$ и $BH \perp AD$, $CK \perp AD$, то четырехугольник $BCKH$ является прямоугольником. Следовательно, $BH = CK$ и $HK = BC$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$.

1. $AB = CD$ (по условию, так как трапеция равнобедренная).
2. $BH = CK$ (как высоты трапеции).

Следовательно, $\triangle ABH = \triangle DCK$ по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: $AH = DK$.

Точка $N$ – середина основания $AD$, значит, $AN = ND$.
Мы можем записать $AN$ как $AH + HN$ и $ND$ как $NK + KD$.
Получаем равенство: $AH + HN = NK + KD$.
Так как мы доказали, что $AH = KD$, то, вычитая эти равные отрезки из обеих частей равенства, получаем $HN = NK$.

Таким образом, точка $N$ является серединой отрезка $HK$. Точка $M$ по условию является серединой отрезка $BC$. Прямая $MN$ соединяет середины противоположных сторон $BC$ и $HK$ прямоугольника $BCKH$. В прямоугольнике прямая, соединяющая середины противоположных сторон, перпендикулярна двум другим сторонам. Следовательно, $MN \perp HK$.

Поскольку отрезок $HK$ лежит на прямой $AD$, то $MN \perp AD$. А так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то $MN \perp BC$.

Утверждение доказано.

Ответ: Прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна её основаниям.

Формулировка и доказательство обратного утверждения.

Формулировка: Если прямая, проходящая через середины оснований трапеции, перпендикулярна этим основаниям, то трапеция является равнобедренной.

Доказательство:

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть $M$ – середина $BC$ и $N$ – середина $AD$. По условию, прямая $MN$ перпендикулярна основаниям: $MN \perp AD$ и $MN \perp BC$.

Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$. Так как $MN \perp AD$, $BH \perp AD$ и $CK \perp AD$, то прямые $MN$, $BH$ и $CK$ параллельны между собой. Также $BC \parallel HK$. Значит, $BM$ и $HN$ лежат на параллельных прямых, $MC$ и $NK$ лежат на параллельных прямых.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MNH$ и $\triangle MNK$. Прямая $MN$ содержит высоты трапеции. Пусть точка пересечения $MN$ и $BC$ - это $M'$, а с $AD$ - $N'$. По условию это точки $M$ и $N$. Рассмотрим прямоугольные трапеции $BCNM$ и $CDNM$. Нет, это не лучший путь. Воспользуемся другим методом.

Рассмотрим трапецию $ABCD$. Продлим боковые стороны $AB$ и $DC$ до их пересечения в точке $P$.

Так как $BC \parallel AD$, то $\triangle PBC \sim \triangle PAD$ по двум углам ($\angle P$ – общий, $\angle PBC = \angle PAD$ как соответственные при параллельных $BC$, $AD$ и секущей $AP$).

В подобных треугольниках отношение высот равно отношению оснований, а медианы также находятся в том же отношении. Прямая, проходящая через вершину $P$ и середину основания $N$ треугольника $PAD$, является его медианой $PN$. Эта медиана пересечет отрезок $BC$ в его середине, то есть в точке $M$. Таким образом, точки $P$, $M$, $N$ лежат на одной прямой.

По условию обратной теоремы, прямая $MN$ перпендикулярна основанию $AD$. Это означает, что прямая $PN$ перпендикулярна $AD$.

Рассмотрим треугольник $PAD$. В нем отрезок $PN$ является медианой (так как $N$ – середина $AD$) и высотой (так как $PN \perp AD$). Треугольник, в котором медиана совпадает с высотой, является равнобедренным. Следовательно, $\triangle PAD$ – равнобедренный, и $PA = PD$.

Теперь рассмотрим треугольник $PBC$. Прямая $PM$ является его медианой (так как $M$ – середина $BC$) и высотой (так как $PM \perp BC$, поскольку $BC \parallel AD$). Следовательно, $\triangle PBC$ также является равнобедренным, и $PB = PC$.

Боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ можно выразить как разности сторон этих треугольников:
$AB = PA - PB$
$CD = PD - PC$

Поскольку $PA = PD$ и $PB = PC$, то $AB = CD$. А трапеция с равными боковыми сторонами является равнобедренной. Утверждение доказано.

Ответ: Обратное утверждение сформулировано и доказано.