Номер 816, страница 211 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 5 - номер 816, страница 211.

Условие.

816 В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведена биссектриса $AD$. Прямая, проведённая через точку $D$ перпендикулярно к $AD$, пересекает прямую $AC$ в точке $E$. Точки $M$ и $K$ — основания перпендикуляров, проведённых из точек $B$ и $D$ к прямой $AC$. Найдите $MK$, если $AE = a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 10.

Введём обозначения для углов треугольника. Пусть $ \angle DAC = \alpha $. Поскольку $AD$ — биссектриса угла $ \angle BAC $, то $ \angle BAC = 2\alpha $. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то $ \angle BCA = \angle BAC = 2\alpha $.

Рассмотрим треугольник $ADE$. По условию, прямая, проходящая через точку $D$, перпендикулярна $AD$ и пересекает $AC$ в точке $E$. Это означает, что $DE \perp AD$, и, следовательно, треугольник $ADE$ является прямоугольным с $ \angle ADE = 90^\circ $.

Построим вспомогательную точку $F$ как точку пересечения прямой $DE$ с прямой $AB$. Рассмотрим треугольник $AFE$. В этом треугольнике $AD$ является биссектрисой угла $ \angle FAE $ (так как $ \angle FAE $ совпадает с $ \angle BAC $) и высотой, опущенной на сторону $FE$ (так как $AD \perp FE$). Треугольник, в котором биссектриса является высотой, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $AFE$ — равнобедренный, и $AF = AE$. По условию $AE = a$, значит, $AF = a$. Также в равнобедренном треугольнике $AFE$ высота $AD$ является и медианой, поэтому точка $D$ — середина отрезка $FE$.

Найдём положение точек $M$ и $K$ на прямой $AC$. Примем точку $A$ за начало отсчёта на этой прямой.

• Точка $K$ — основание перпендикуляра, проведённого из точки $D$ к прямой $AC$. В прямоугольном треугольнике $ADK$ катет $AK$ равен $AD \cdot \cos(\angle DAK)$. Из прямоугольного треугольника $ADE$ имеем $AD = AE \cdot \cos(\angle DAE) = a \cdot \cos(\alpha)$. Тогда $AK = (a \cos(\alpha)) \cdot \cos(\alpha) = a \cos^2(\alpha)$.
• Точка $M$ — основание перпендикуляра, проведённого из точки $B$ к прямой $AC$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, его высота $BM$ является также и медианой. Следовательно, $M$ — середина отрезка $AC$, и $AM = \frac{AC}{2}$.

Теперь необходимо найти длину $AC$. Для этого воспользуемся теоремой Менелая для треугольника $ABC$ и секущей $FDE$. Точки $F$, $D$, $E$ лежат на одной прямой и пересекают прямые, содержащие стороны треугольника $ABC$ ($F \in AB, D \in BC, E \in AC$). По теореме Менелая: $$ \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1 $$

По свойству биссектрисы $AD$ в треугольнике $ABC$ имеем соотношение: $$ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} $$

Подставим это в уравнение Менелая, а также учтём, что $AF = a$ и $EA = a$: $$ \frac{a}{FB} \cdot \frac{AB}{AC} \cdot \frac{CE}{a} = 1 \implies \frac{AB}{AC} \cdot \frac{CE}{FB} = 1 \implies AB \cdot CE = AC \cdot FB $$ Длины отрезков $CE$ и $FB$ выражаются как $CE = |AC - AE| = |AC - a|$ и $FB = |AB - AF| = |AB - a|$. Тогда получаем: $$ AB \cdot |AC - a| = AC \cdot |AB - a| $$ Это равенство возможно в двух случаях: 1. $ AB(AC - a) = AC(AB - a) \implies AB \cdot AC - a \cdot AB = AC \cdot AB - a \cdot AC \implies a \cdot AB = a \cdot AC \implies AB = AC $. Если $AB=AC$ и $AB=BC$, то треугольник $ABC$ равносторонний. 2. $ AB(AC - a) = -AC(AB - a) \implies AB \cdot AC - a \cdot AB = -AC \cdot AB + a \cdot AC \implies 2 \cdot AB \cdot AC = a(AB + AC) $.

Найдём связь между сторонами $AB$ и $AC$ в общем случае из теоремы синусов для треугольника $ABC$: $$ \frac{AB}{\sin(2\alpha)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{AC}{\sin(180^\circ - 4\alpha)} = \frac{AC}{\sin(4\alpha)} $$ $$ AB = \frac{AC \sin(2\alpha)}{\sin(4\alpha)} = \frac{AC \sin(2\alpha)}{2 \sin(2\alpha) \cos(2\alpha)} = \frac{AC}{2 \cos(2\alpha)} $$ Подставим это выражение для $AB$ в равенство $2 \cdot AB \cdot AC = a(AB + AC)$: $$ 2 \cdot \frac{AC}{2 \cos(2\alpha)} \cdot AC = a \left(\frac{AC}{2 \cos(2\alpha)} + AC\right) $$ $$ \frac{AC^2}{\cos(2\alpha)} = a \cdot AC \left(\frac{1}{2 \cos(2\alpha)} + 1\right) = a \cdot AC \frac{1 + 2 \cos(2\alpha)}{2 \cos(2\alpha)} $$ Сократив на $AC$ (так как $AC \ne 0$) и на $\cos(2\alpha)$, получим: $$ 2 AC = a(1 + 2 \cos(2\alpha)) \implies AC = \frac{a}{2}(1 + 2 \cos(2\alpha)) $$

Теперь мы можем найти $AM$: $$ AM = \frac{AC}{2} = \frac{a}{4}(1 + 2 \cos(2\alpha)) $$ Используя формулу двойного угла $ \cos(2\alpha) = 2 \cos^2(\alpha) - 1 $: $$ AM = \frac{a}{4}(1 + 2(2 \cos^2(\alpha) - 1)) = \frac{a}{4}(1 + 4 \cos^2(\alpha) - 2) = \frac{a}{4}(4 \cos^2(\alpha) - 1) = a \cos^2(\alpha) - \frac{a}{4} $$

Наконец, найдём длину отрезка $MK$ как разность длин отрезков $AK$ и $AM$: $$ MK = |AK - AM| = \left|a \cos^2(\alpha) - \left(a \cos^2(\alpha) - \frac{a}{4}\right)\right| = \left|\frac{a}{4}\right| $$ Так как $a$ — это длина, $a > 0$, то $MK = \frac{a}{4}$.

Ответ: $ \frac{a}{4} $