Номер 808, страница 210 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 808, страница 210.

Условие.

808* Точки А и С — середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, а точки В и D — середины двух других его сторон. Докажите, что для любой точки О верно равенство

$\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть вершины произвольного четырехугольника обозначены как $P_1, P_2, P_3, P_4$. Пусть $O$ — произвольная точка, которую мы примем за начало отсчета для радиус-векторов. Обозначим радиус-векторы вершин четырехугольника как $\vec{p_1} = \vec{OP_1}$, $\vec{p_2} = \vec{OP_2}$, $\vec{p_3} = \vec{OP_3}$ и $\vec{p_4} = \vec{OP_4}$.

Согласно условию задачи, точки $A$ и $C$ являются серединами противоположных сторон, а точки $B$ и $D$ — серединами двух других его сторон. Определим их положение на сторонах четырехугольника $P_1P_2P_3P_4$ следующим образом:

• Точка $A$ — середина стороны $P_1P_2$.
• Точка $C$ — середина стороны $P_3P_4$.
• Точка $B$ — середина стороны $P_2P_3$.
• Точка $D$ — середина стороны $P_4P_1$.

Требуется доказать, что для любой точки $O$ выполняется векторное равенство: $\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD}$.

Для доказательства воспользуемся свойством радиус-вектора середины отрезка. Радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов. Применительно к нашим точкам, это свойство можно записать так:

• Поскольку $A$ — середина $P_1P_2$, то ее радиус-вектор $\vec{OA} = \frac{1}{2}(\vec{OP_1} + \vec{OP_2}) = \frac{1}{2}(\vec{p_1} + \vec{p_2})$.
• Поскольку $C$ — середина $P_3P_4$, то ее радиус-вектор $\vec{OC} = \frac{1}{2}(\vec{OP_3} + \vec{OP_4}) = \frac{1}{2}(\vec{p_3} + \vec{p_4})$.
• Поскольку $B$ — середина $P_2P_3$, то ее радиус-вектор $\vec{OB} = \frac{1}{2}(\vec{OP_2} + \vec{OP_3}) = \frac{1}{2}(\vec{p_2} + \vec{p_3})$.
• Поскольку $D$ — середина $P_4P_1$, то ее радиус-вектор $\vec{OD} = \frac{1}{2}(\vec{OP_4} + \vec{OP_1}) = \frac{1}{2}(\vec{p_4} + \vec{p_1})$.

Теперь подставим эти выражения в левую и правую части доказываемого равенства.

Вычислим левую часть равенства:
$\vec{OA} + \vec{OC} = \frac{1}{2}(\vec{p_1} + \vec{p_2}) + \frac{1}{2}(\vec{p_3} + \vec{p_4}) = \frac{1}{2}(\vec{p_1} + \vec{p_2} + \vec{p_3} + \vec{p_4})$.

Вычислим правую часть равенства:
$\vec{OB} + \vec{OD} = \frac{1}{2}(\vec{p_2} + \vec{p_3}) + \frac{1}{2}(\vec{p_4} + \vec{p_1}) = \frac{1}{2}(\vec{p_2} + \vec{p_3} + \vec{p_4} + \vec{p_1})$.

Сравнивая полученные выражения для левой и правой частей, мы видим, что они равны, так как сложение векторов коммутативно (порядок слагаемых не меняет сумму):
$\frac{1}{2}(\vec{p_1} + \vec{p_2} + \vec{p_3} + \vec{p_4}) = \frac{1}{2}(\vec{p_2} + \vec{p_3} + \vec{p_4} + \vec{p_1})$.

Таким образом, равенство $\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD}$ справедливо для любой точки $O$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.