Номер 802, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 802, страница 209.

Условие.

802 На стороне BC треугольника ABC отмечена точка N так, что $BN=2NC$. Выразите вектор $\vec{AN}$ через векторы $\vec{a}=\vec{BA}$ и $\vec{b}=\vec{BC}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{AN}$ через векторы $\vec{a} = \vec{BA}$ и $\vec{b} = \vec{BC}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника). Вектор $\vec{AN}$ можно представить как сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BN}$:
$\vec{AN} = \vec{AB} + \vec{BN}$

Теперь выразим каждый из векторов в правой части равенства через заданные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

1. Выразим вектор $\vec{AB}$ через $\vec{a}$. Вектор $\vec{AB}$ имеет то же направление, что и вектор от точки $A$ к $B$, а вектор $\vec{BA}$ (равный $\vec{a}$) — от $B$ к $A$. Следовательно, эти векторы противоположны:
$\vec{AB} = -\vec{BA} = -\vec{a}$

2. Выразим вектор $\vec{BN}$ через $\vec{b}$. Точка $N$ лежит на стороне $BC$, поэтому векторы $\vec{BN}$ и $\vec{BC}$ коллинеарны и сонаправлены. Это значит, что $\vec{BN} = k \cdot \vec{BC}$ для некоторого положительного коэффициента $k$. Найдем этот коэффициент из соотношения длин отрезков, данного в условии: $BN = 2NC$.
Длина всего отрезка $BC$ равна сумме длин его частей: $BC = BN + NC$.
Из условия $BN = 2NC$ выразим $NC$ через $BN$: $NC = \frac{1}{2}BN$.
Подставим это в предыдущее равенство:
$BC = BN + \frac{1}{2}BN = \frac{3}{2}BN$
Отсюда находим соотношение между длинами $BN$ и $BC$:
$BN = \frac{2}{3}BC$
Поскольку векторы $\vec{BN}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены, такое же соотношение справедливо и для векторов:
$\vec{BN} = \frac{2}{3}\vec{BC}$
Так как по условию $\vec{b} = \vec{BC}$, получаем:
$\vec{BN} = \frac{2}{3}\vec{b}$

3. Подставим найденные выражения для $\vec{AB}$ и $\vec{BN}$ в исходную формулу для $\vec{AN}$:
$\vec{AN} = \vec{AB} + \vec{BN} = -\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$

Ответ: $\vec{AN} = -\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$