Номер 838, страница 213 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 6 - номер 838, страница 213.

Условие.

838 Два непересекающихся отрезка делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника на три равные части. Докажите, что площадь той части четырёхугольника, которая заключена между этими отрезками, в три раза меньше площади самого четырёхугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть $ABCD$ — выпуклый четырехугольник. Обозначим его вершины с помощью радиус-векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$, проведенных из некоторого начала координат $O$.

Пусть противоположные стороны, которые делятся на три равные части, — это $AB$ и $CD$. На стороне $AB$ находятся точки $M_1$ и $M_2$ такие, что $AM_1 = M_1M_2 = M_2B$. На стороне $CD$ находятся точки $N_1$ и $N_2$ такие, что $DN_1 = N_1N_2 = N_2C$.

Радиус-векторы этих точек можно выразить через радиус-векторы вершин:
$\vec{m_1} = \vec{a} + \frac{1}{3}(\vec{b} - \vec{a}) = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$
$\vec{m_2} = \vec{a} + \frac{2}{3}(\vec{b} - \vec{a}) = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$
$\vec{n_1} = \vec{d} + \frac{1}{3}(\vec{c} - \vec{d}) = \frac{2}{3}\vec{d} + \frac{1}{3}\vec{c}$
$\vec{n_2} = \vec{d} + \frac{2}{3}(\vec{c} - \vec{d}) = \frac{1}{3}\vec{d} + \frac{2}{3}\vec{c}$

Два непересекающихся отрезка, упомянутые в условии, это $M_1N_1$ и $M_2N_2$. Они делят четырехугольник $ABCD$ на три части: $AM_1N_1D$, $M_1M_2N_2N_1$ и $M_2BCN_2$. Нам нужно доказать, что площадь средней части $S_{M_1M_2N_2N_1}$ составляет треть от площади всего четырехугольника $S_{ABCD}$.

Для нахождения площадей воспользуемся формулой площади многоугольника через векторное произведение радиус-векторов его вершин (ориентированная площадь):$S_{P_1P_2...P_n} = \frac{1}{2} (\vec{p_1} \times \vec{p_2} + \vec{p_2} \times \vec{p_3} + ... + \vec{p_n} \times \vec{p_1})$, где $\times$ обозначает $z$-компоненту векторного произведения (псевдоскалярное произведение).

Площадь четырехугольника $ABCD$ равна:$S_{ABCD} = \frac{1}{2} |\vec{a}\times\vec{b} + \vec{b}\times\vec{c} + \vec{c}\times\vec{d} + \vec{d}\times\vec{a}|$

Площадь среднего четырехугольника $M_1M_2N_2N_1$ равна:$S_{M_1M_2N_2N_1} = \frac{1}{2} |\vec{m_1}\times\vec{m_2} + \vec{m_2}\times\vec{n_2} + \vec{n_2}\times\vec{n_1} + \vec{n_1}\times\vec{m_1}|$

Вычислим каждое слагаемое в этой сумме:
1. $\vec{m_1}\times\vec{m_2} = (\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}) \times (\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}) = \frac{4}{9}(\vec{a}\times\vec{b}) + \frac{1}{9}(\vec{b}\times\vec{a}) = \frac{4}{9}(\vec{a}\times\vec{b}) - \frac{1}{9}(\vec{a}\times\vec{b}) = \frac{3}{9}(\vec{a}\times\vec{b}) = \frac{1}{3}(\vec{a}\times\vec{b})$
2. $\vec{n_2}\times\vec{n_1} = (\frac{1}{3}\vec{d} + \frac{2}{3}\vec{c}) \times (\frac{2}{3}\vec{d} + \frac{1}{3}\vec{c}) = \frac{1}{9}(\vec{d}\times\vec{c}) + \frac{4}{9}(\vec{c}\times\vec{d}) = -\frac{1}{9}(\vec{c}\times\vec{d}) + \frac{4}{9}(\vec{c}\times\vec{d}) = \frac{3}{9}(\vec{c}\times\vec{d}) = \frac{1}{3}(\vec{c}\times\vec{d})$
3. $\vec{m_2}\times\vec{n_2} = (\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}) \times (\frac{1}{3}\vec{d} + \frac{2}{3}\vec{c}) = \frac{1}{9}(\vec{a}\times\vec{d}) + \frac{2}{9}(\vec{a}\times\vec{c}) + \frac{2}{9}(\vec{b}\times\vec{d}) + \frac{4}{9}(\vec{b}\times\vec{c})$
4. $\vec{n_1}\times\vec{m_1} = (\frac{2}{3}\vec{d} + \frac{1}{3}\vec{c}) \times (\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}) = \frac{4}{9}(\vec{d}\times\vec{a}) + \frac{2}{9}(\vec{d}\times\vec{b}) + \frac{2}{9}(\vec{c}\times\vec{a}) + \frac{1}{9}(\vec{c}\times\vec{b})$

Теперь сложим все четыре выражения. Для удобства будем использовать антикоммутативность векторного произведения: $\vec{x}\times\vec{y} = -(\vec{y}\times\vec{x})$.
Сумма = $\frac{1}{3}(\vec{a}\times\vec{b}) + \frac{1}{3}(\vec{c}\times\vec{d}) + \frac{1}{9}(\vec{a}\times\vec{d} - 2\vec{c}\times\vec{a} + 2\vec{b}\times\vec{d} + 4\vec{b}\times\vec{c}) + \frac{1}{9}(-4\vec{a}\times\vec{d} - 2\vec{b}\times\vec{d} + 2\vec{c}\times\vec{a} - \vec{b}\times\vec{c})$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми векторными произведениями:

• $\vec{a}\times\vec{b}$: $\frac{1}{3}$
• $\vec{b}\times\vec{c}$: $\frac{4}{9} - \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
• $\vec{c}\times\vec{d}$: $\frac{1}{3}$
• $\vec{a}\times\vec{d}$: $\frac{1}{9} - \frac{4}{9} = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3}$. Это эквивалентно $+\frac{1}{3}(\vec{d}\times\vec{a})$.
• $\vec{c}\times\vec{a}$: $-\frac{2}{9} + \frac{2}{9} = 0$
• $\vec{b}\times\vec{d}$: $\frac{2}{9} - \frac{2}{9} = 0$

Таким образом, сумма всех слагаемых для площади $S_{M_1M_2N_2N_1}$ равна:
$\frac{1}{3}(\vec{a}\times\vec{b}) + \frac{1}{3}(\vec{b}\times\vec{c}) + \frac{1}{3}(\vec{c}\times\vec{d}) + \frac{1}{3}(\vec{d}\times\vec{a}) = \frac{1}{3} (\vec{a}\times\vec{b} + \vec{b}\times\vec{c} + \vec{c}\times\vec{d} + \vec{d}\times\vec{a})$

Подставляя это в формулу для площади, получаем:
$S_{M_1M_2N_2N_1} = \frac{1}{2} |\frac{1}{3} (\vec{a}\times\vec{b} + \vec{b}\times\vec{c} + \vec{c}\times\vec{d} + \vec{d}\times\vec{a})| = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} |\vec{a}\times\vec{b} + \vec{b}\times\vec{c} + \vec{c}\times\vec{d} + \vec{d}\times\vec{a}| = \frac{1}{3} S_{ABCD}$

Что и требовалось доказать.

Ответ:Утверждение доказано. Площадь части четырехугольника, заключенная между указанными отрезками, действительно в три раза меньше площади самого четырехугольника.