Номер 844, страница 214 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 6 - номер 844, страница 214.

Условие.

844. Внутри прямоугольника $ABCD$ взята точка $M$. Известно, что $MB=a$, $MC=b$ и $MD=c$. Найдите длину отрезка $MA$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Для решения задачи воспользуемся свойством, связывающим расстояния от произвольной точки до вершин прямоугольника. Это свойство, известное как теорема о четырех точках для прямоугольника, утверждает, что для любой точки M в плоскости прямоугольника ABCD справедливо равенство:

$MA^2 + MC^2 = MB^2 + MD^2$

Доказательство свойства:

Введем декартову систему координат. Поместим вершину D прямоугольника в начало координат, то есть D(0, 0). Пусть сторона DC лежит на оси Ox, а сторона AD — на оси Oy. Если длина стороны DC равна w, а длина AD равна h, то координаты вершин будут: D(0, 0), A(0, h), C(w, 0) и B(w, h). Пусть точка M имеет произвольные координаты (x, y).

Теперь выразим квадраты расстояний от точки M до каждой из вершин, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$:

$MA^2 = (x - 0)^2 + (y - h)^2 = x^2 + (y - h)^2$

$MB^2 = (x - w)^2 + (y - h)^2$

$MC^2 = (x - w)^2 + (y - 0)^2 = (x - w)^2 + y^2$

$MD^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$

Найдем сумму квадратов расстояний до противолежащих вершин A и C:

$MA^2 + MC^2 = (x^2 + (y - h)^2) + ((x - w)^2 + y^2)$

Теперь найдем сумму квадратов расстояний до противолежащих вершин B и D:

$MB^2 + MD^2 = ((x - w)^2 + (y - h)^2) + (x^2 + y^2)$

Сравнивая полученные выражения для $MA^2 + MC^2$ и $MB^2 + MD^2$, мы видим, что они состоят из одних и тех же слагаемых: $x^2$, $(y - h)^2$, $(x - w)^2$ и $y^2$. Следовательно, эти суммы равны, и свойство доказано.

Решение задачи:

Теперь применим доказанное свойство к условиям задачи. Нам дано:

$MB = a$

$MC = b$

$MD = c$

Обозначим искомую длину отрезка MA как x. Подставим эти значения в равенство $MA^2 + MC^2 = MB^2 + MD^2$:

$x^2 + b^2 = a^2 + c^2$

Выразим $x^2$ из этого уравнения:

$x^2 = a^2 + c^2 - b^2$

Поскольку длина отрезка является неотрицательной величиной, находим x, извлекая квадратный корень:

$x = \sqrt{a^2 + c^2 - b^2}$

Ответ: $\sqrt{a^2 + c^2 - b^2}$