Номер 845, страница 214 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 6 - номер 845, страница 214.

Условие.

845 В треугольнике $ABC$ проведена высота $BD$. Отрезок $KA$ перпендикулярен к отрезку $AB$ и равен отрезку $DC$, отрезок $CM$ перпендикулярен к отрезку $BC$ и равен отрезку $AD$. Докажите, что отрезки $MB$ и $KB$ равны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Дано:
В треугольнике $ABC$ проведена высота $BD$ ($BD \perp AC$).
Отрезок $KA$ перпендикулярен к отрезку $AB$ ($KA \perp AB$) и равен отрезку $DC$ ($KA = DC$).
Отрезок $CM$ перпендикулярен к отрезку $BC$ ($CM \perp BC$) и равен отрезку $AD$ ($CM = AD$).

Доказать:
$MB = KB$.

Доказательство:

1. Рассмотрим $\triangle KAB$. Так как по условию $KA \perp AB$, то $\triangle KAB$ является прямоугольным с прямым углом $\angle KAB = 90^\circ$. Применим к нему теорему Пифагора:
$KB^2 = KA^2 + AB^2$.

2. Аналогично рассмотрим $\triangle MCB$. Так как по условию $CM \perp BC$, то $\triangle MCB$ является прямоугольным с прямым углом $\angle MCB = 90^\circ$. По теореме Пифагора:
$MB^2 = MC^2 + BC^2$.

3. По условию задачи известно, что $KA = DC$ и $CM = AD$. Подставим эти равенства в выражения для $KB^2$ и $MB^2$:
$KB^2 = DC^2 + AB^2$ (1)
$MB^2 = AD^2 + BC^2$ (2)

4. Поскольку $BD$ является высотой в $\triangle ABC$, то $BD \perp AC$. Следовательно, $\triangle ADB$ и $\triangle CDB$ являются прямоугольными треугольниками ($\angle BDA = \angle BDC = 90^\circ$).

5. Применим теорему Пифагора к этим прямоугольным треугольникам:
В $\triangle ADB$: $AB^2 = AD^2 + BD^2$.
В $\triangle CDB$: $BC^2 = DC^2 + BD^2$.

6. Теперь подставим полученные выражения для $AB^2$ и $BC^2$ в уравнения (1) и (2) соответственно:
$KB^2 = DC^2 + (AD^2 + BD^2) = AD^2 + DC^2 + BD^2$.
$MB^2 = AD^2 + (DC^2 + BD^2) = AD^2 + DC^2 + BD^2$.

7. Сравнивая полученные выражения для $KB^2$ и $MB^2$, мы видим, что они равны:
$KB^2 = MB^2$.

8. Так как длины отрезков являются положительными величинами, из равенства их квадратов следует равенство самих длин:
$KB = MB$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство отрезков $MB$ и $KB$ доказано.