Номер 850, страница 214 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 7 - номер 850, страница 214.

Условие.

850. Точки $E$ и $F$ лежат на стороне $AB$ треугольника $ABC$, причём точка $E$ лежит на отрезке $AF$ и $AE = BF$. Прямая, проведённая через точку $E$ параллельно стороне $AC$, пересекает прямую, проведённую через точку $F$ параллельно стороне $BC$, в точке $K$. Докажите, что точка $K$ лежит на медиане треугольника $ABC$, проведённой к стороне $AB$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 10.

Для доказательства воспользуемся методом векторов. Поместим начало системы координат в вершину $C$ треугольника $ABC$. Обозначим векторы, идущие из вершины $C$ к двум другим вершинам, следующим образом: $\vec{CA} = \vec{a}$ и $\vec{CB} = \vec{b}$. В этой системе координат радиус-векторы вершин будут $\vec{r_C} = \vec{0}$, $\vec{r_A} = \vec{a}$, $\vec{r_B} = \vec{b}$.

Точки $E$ и $F$ лежат на стороне $AB$. Любая точка $P$ на прямой $AB$ может быть представлена как линейная комбинация векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Радиус-вектор точки $P$ на отрезке $AB$ можно записать как $\vec{r_P} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$ для некоторого скаляра $t \in [0, 1]$. Этот параметр $t$ равен отношению длины отрезка $AP$ к длине стороны $AB$, то есть $t = \frac{AP}{AB}$.

Для точек $E$ и $F$ имеем:$\vec{r_E} = (1-t_E)\vec{a} + t_E\vec{b}$, где $t_E = \frac{AE}{AB}$.$\vec{r_F} = (1-t_F)\vec{a} + t_F\vec{b}$, где $t_F = \frac{AF}{AB}$.

По условию задачи $AE = BF$. Длина отрезка $BF$ равна $AB - AF$. Выразим это соотношение через наши параметры:$AE = t_E \cdot AB$$BF = AB - AF = AB - t_F \cdot AB = (1-t_F) \cdot AB$Приравнивая $AE$ и $BF$, получаем $t_E \cdot AB = (1-t_F) \cdot AB$, откуда следует $t_E = 1 - t_F$, или $t_E + t_F = 1$.

Теперь найдем радиус-вектор точки $K$. Точка $K$ является точкой пересечения двух прямых. Первая прямая проходит через точку $E$ параллельно стороне $AC$. Направляющий вектор этой прямой коллинеарен вектору $\vec{AC} = \vec{r_C} - \vec{r_A} = \vec{0} - \vec{a} = -\vec{a}$. Уравнение этой прямой: $\vec{r}(s) = \vec{r_E} - s\vec{a}$. Вторая прямая проходит через точку $F$ параллельно стороне $BC$. Ее направляющий вектор коллинеарен вектору $\vec{BC} = \vec{r_C} - \vec{r_B} = \vec{0} - \vec{b} = -\vec{b}$. Уравнение этой прямой: $\vec{r}(p) = \vec{r_F} - p\vec{b}$.

В точке пересечения $K$ радиус-векторы совпадают: $\vec{r_K} = \vec{r_E} - s\vec{a} = \vec{r_F} - p\vec{b}$. Подставим выражения для $\vec{r_E}$ и $\vec{r_F}$:$(1-t_E)\vec{a} + t_E\vec{b} - s\vec{a} = (1-t_F)\vec{a} + t_F\vec{b} - p\vec{b}$Сгруппируем коэффициенты при векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$:$(1 - t_E - s)\vec{a} + t_E\vec{b} = (1 - t_F)\vec{a} + (t_F - p)\vec{b}$

Так как векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны (поскольку $A, B, C$ - вершины треугольника), равенство возможно только при равенстве соответствующих коэффициентов:

$1 - t_E - s = 1 - t_F \implies s = t_F - t_E$$t_E = t_F - p \implies p = t_F - t_E$

Отсюда $s=p$. Используя ранее полученное соотношение $t_F = 1 - t_E$, найдем параметр $s$:$s = (1 - t_E) - t_E = 1 - 2t_E$. Теперь можем найти радиус-вектор точки $K$, подставив $s$ в уравнение для $\vec{r_K}$:$\vec{r_K} = (1 - t_E - s)\vec{a} + t_E\vec{b} = (1 - t_E - (1 - 2t_E))\vec{a} + t_E\vec{b} = (t_E)\vec{a} + t_E\vec{b} = t_E(\vec{a} + \vec{b})$.

Медиана треугольника $ABC$, проведенная к стороне $AB$, соединяет вершину $C$ с серединой $M$ стороны $AB$. Найдем радиус-вектор точки $M$:$\vec{r_M} = \frac{\vec{r_A} + \vec{r_B}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$.

Прямая, содержащая медиану $CM$, проходит через начало координат (точку $C$) и точку $M$. Любая точка на этой прямой имеет радиус-вектор, коллинеарный вектору $\vec{r_M}$. Сравним радиус-вектор точки $K$ с вектором $\vec{r_M}$:$\vec{r_K} = t_E(\vec{a} + \vec{b}) = 2t_E \left(\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}\right) = 2t_E \vec{r_M}$.

Это равенство показывает, что вектор $\vec{CK}$ (равный $\vec{r_K}$ в нашей системе) является произведением вектора $\vec{CM}$ (равного $\vec{r_M}$) на скаляр $2t_E$. Следовательно, векторы $\vec{CK}$ и $\vec{CM}$ коллинеарны. Так как они исходят из одной точки $C$, точки $C$, $K$ и $M$ лежат на одной прямой. Это означает, что точка $K$ лежит на медиане $CM$ треугольника $ABC$.

Ответ: Утверждение доказано. Точка K действительно лежит на медиане треугольника ABC, проведённой к стороне AB.