Номер 857, страница 215 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 7 - номер 857, страница 215.

Условие.

857 Точка $M$ не лежит на прямых, содержащих стороны параллелограмма $ABCD$. Докажите, что существуют точки $N$, $P$ и $Q$, расположенные так, что $A$, $B$, $C$ и $D$ являются соответственно серединами отрезков $MN$, $NP$, $PQ$ и $QM$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Для решения этой задачи воспользуемся методом векторов. Пусть некоторая точка $O$ является началом координат. Тогда каждой точке на плоскости (например, точке $A$) соответствует ее радиус-вектор $\vec{a} = \vec{OA}$.

По условию, точки $A, B, C$ и $D$ являются серединами отрезков $MN, NP, PQ$ и $QM$ соответственно. Запишем эти условия в векторной форме:

• $A$ – середина $MN \implies \vec{a} = \frac{\vec{m} + \vec{n}}{2}$
• $B$ – середина $NP \implies \vec{b} = \frac{\vec{n} + \vec{p}}{2}$
• $C$ – середина $PQ \implies \vec{c} = \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2}$
• $D$ – середина $QM \implies \vec{d} = \frac{\vec{q} + \vec{m}}{2}$

Нам даны векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ (вершины параллелограмма) и вектор $\vec{m}$ (положение точки $M$). Нам нужно доказать, что существуют векторы $\vec{n}, \vec{p}$ и $\vec{q}$, удовлетворяющие этой системе уравнений. Для этого выразим неизвестные векторы через известные.

1. Найдем вектор $\vec{n}$
Из первого уравнения: $2\vec{a} = \vec{m} + \vec{n}$ $\vec{n} = 2\vec{a} - \vec{m}$ Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{m}$ известны, вектор $\vec{n}$ однозначно определяется, а значит, точка $N$ существует.

2. Найдем вектор $\vec{p}$
Из второго уравнения: $2\vec{b} = \vec{n} + \vec{p}$ $\vec{p} = 2\vec{b} - \vec{n}$ Подставим найденное выражение для $\vec{n}$: $\vec{p} = 2\vec{b} - (2\vec{a} - \vec{m}) = 2\vec{b} - 2\vec{a} + \vec{m}$ Поскольку векторы $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{m}$ известны, вектор $\vec{p}$ однозначно определяется, а значит, точка $P$ существует.

3. Найдем вектор $\vec{q}$
Из третьего уравнения: $2\vec{c} = \vec{p} + \vec{q}$ $\vec{q} = 2\vec{c} - \vec{p}$ Подставим найденное выражение для $\vec{p}$: $\vec{q} = 2\vec{c} - (2\vec{b} - 2\vec{a} + \vec{m}) = 2\vec{c} - 2\vec{b} + 2\vec{a} - \vec{m}$ Поскольку векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ и $\vec{m}$ известны, вектор $\vec{q}$ однозначно определяется, а значит, точка $Q$ существует.

Мы нашли выражения для векторов $\vec{n}, \vec{p}, \vec{q}$, которые удовлетворяют первым трем условиям задачи. Теперь нужно проверить, будет ли при таких векторах выполняться четвертое условие: $D$ – середина $QM$. Для этого найдем радиус-вектор середины отрезка $QM$, используя найденный вектор $\vec{q}$: $\frac{\vec{q} + \vec{m}}{2} = \frac{(2\vec{c} - 2\vec{b} + 2\vec{a} - \vec{m}) + \vec{m}}{2} = \frac{2\vec{c} - 2\vec{b} + 2\vec{a}}{2} = \vec{c} - \vec{b} + \vec{a}$

Четвертое условие будет выполнено, если $\vec{d} = \vec{c} - \vec{b} + \vec{a}$. Проверим, верно ли это равенство для параллелограмма $ABCD$.

По определению параллелограмма, его противоположные стороны равны и параллельны. Это означает, что векторы, соответствующие этим сторонам, равны. Например, $\vec{AB} = \vec{DC}$. Выразим эти векторы через радиус-векторы их концов: $\vec{b} - \vec{a} = \vec{c} - \vec{d}$ Перенесем $\vec{d}$ в левую часть, а $\vec{b}$ и $\vec{a}$ в правую: $\vec{d} = \vec{c} - \vec{b} + \vec{a}$

Это равенство в точности совпадает с тем, которое мы получили для середины отрезка $QM$. Таким образом, условие, что $ABCD$ является параллелограммом, гарантирует, что построенные нами точки $N, P, Q$ удовлетворяют всем четырем условиям задачи.

Ответ: Мы показали, как однозначно построить точки $N, P, Q$ по заданным точкам $A, B, C, D$ и $M$, и доказали, что при таком построении все условия задачи выполняются благодаря свойству параллелограмма. Следовательно, такие точки существуют, что и требовалось доказать.