Номер 851, страница 214 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 7 - номер 851, страница 214.

Условие.

851 Гипотенуза прямоугольного треугольника является стороной квадрата, не перекрывающегося с этим треугольником. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата до вершины прямого угла треугольника, если сумма катетов равна $a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Обозначим длины катетов как $AC = b$ и $BC = d$. Гипотенуза $AB$ имеет длину $c$. По условию задачи, сумма катетов равна $a$, то есть $b + d = a$. По теореме Пифагора, $c^2 = b^2 + d^2$.

На гипотенузе $AB$ построен квадрат $ABDE$, который не перекрывается с треугольником. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей этого квадрата (его центр). Требуется найти расстояние от точки $O$ до вершины $C$, то есть длину отрезка $OC$.

Задачу можно решить несколькими способами.

1. Решение с помощью координатного метода

Разместим треугольник в декартовой системе координат так, чтобы вершина прямого угла $C$ совпала с началом координат $(0, 0)$, катет $AC$ лежал на оси $Oy$, а катет $BC$ — на оси $Ox$. Тогда вершины треугольника будут иметь следующие координаты: $C(0, 0)$, $A(0, b)$, $B(d, 0)$.

Вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $(d-0, 0-b) = (d, -b)$. Вектор стороны квадрата $\vec{AE}$, где $E$ — одна из вершин квадрата, должен быть перпендикулярен вектору $\vec{AB}$ и иметь ту же длину. Поскольку квадрат построен "наружу" от треугольника (относительно начала координат), вектор $\vec{AE}$ будет иметь координаты $(b, d)$. Вектор $\vec{BD}$ также равен вектору $\vec{AE}$.

Координаты вершины $D$ можно найти, прибавив к координатам точки $B$ координаты вектора $\vec{BD}$: $D = B + \vec{BD} = (d, 0) + (b, d) = (b+d, d)$.

Точка $O$ является серединой диагонали $AD$. Найдем ее координаты: $O = \left( \frac{x_A+x_D}{2}, \frac{y_A+y_D}{2} \right) = \left( \frac{0 + (b+d)}{2}, \frac{b + d}{2} \right) = \left( \frac{b+d}{2}, \frac{b+d}{2} \right)$.

Расстояние $OC$ от начала координат $C(0,0)$ до точки $O\left(\frac{b+d}{2}, \frac{b+d}{2}\right)$ вычисляется по формуле: $OC = \sqrt{\left(\frac{b+d}{2}\right)^2 + \left(\frac{b+d}{2}\right)^2} = \sqrt{2 \cdot \left(\frac{b+d}{2}\right)^2} = \frac{b+d}{2} \sqrt{2} = \frac{b+d}{\sqrt{2}}$.

По условию $b+d = a$, следовательно: $OC = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

2. Решение с помощью теоремы косинусов

Рассмотрим треугольник $OAC$. В нем известны стороны $AC=b$ и $OA$. $OA$ — это половина диагонали квадрата со стороной $c$. Длина диагонали равна $c\sqrt{2}$, значит $OA = \frac{c\sqrt{2}}{2} = \frac{c}{\sqrt{2}}$. Угол $\angle OAB = 45^\circ$. Пусть $\angle CAB = \alpha$. Тогда $\cos \alpha = \frac{b}{c}$ и $\sin \alpha = \frac{d}{c}$. Угол $\angle OAC = \angle OAB + \angle CAB = 45^\circ + \alpha$.

Применим теорему косинусов для треугольника $OAC$: $OC^2 = OA^2 + AC^2 - 2 \cdot OA \cdot AC \cdot \cos(\angle OAC)$ $OC^2 = \left(\frac{c}{\sqrt{2}}\right)^2 + b^2 - 2 \cdot \frac{c}{\sqrt{2}} \cdot b \cdot \cos(45^\circ + \alpha)$ $OC^2 = \frac{c^2}{2} + b^2 - \frac{2bc}{\sqrt{2}} (\cos 45^\circ \cos \alpha - \sin 45^\circ \sin \alpha)$ $OC^2 = \frac{c^2}{2} + b^2 - \frac{2bc}{\sqrt{2}} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \alpha - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin \alpha\right)$ $OC^2 = \frac{c^2}{2} + b^2 - bc(\cos \alpha - \sin \alpha)$

Подставим значения для $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$: $OC^2 = \frac{c^2}{2} + b^2 - bc\left(\frac{b}{c} - \frac{d}{c}\right) = \frac{c^2}{2} + b^2 - b(b-d) = \frac{c^2}{2} + b^2 - b^2 + bd = \frac{c^2}{2} + bd$.

Так как $c^2 = b^2 + d^2$, получаем: $OC^2 = \frac{b^2+d^2}{2} + bd = \frac{b^2+d^2+2bd}{2} = \frac{(b+d)^2}{2}$.

Отсюда $OC = \sqrt{\frac{(b+d)^2}{2}} = \frac{b+d}{\sqrt{2}}$. С учетом условия $b+d = a$, приходим к тому же результату: $OC = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.