Номер 849, страница 214 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 7 - номер 849, страница 214.

Условие.

849 Докажите, что отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют треугольник, в котором эти высоты являются биссектрисами.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть дан остроугольный треугольник $ABC$. Проведём в нём высоты $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$, где $A_1$, $B_1$, $C_1$ — основания высот на сторонах $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Эти основания образуют так называемый ортотреугольник $\triangle A_1B_1C_1$. Нам нужно доказать, что высоты исходного треугольника $ABC$ являются биссектрисами углов треугольника $A_1B_1C_1$.

Докажем, что высота $AA_1$ является биссектрисой угла $\angle B_1A_1C_1$. Доказательство для двух других высот будет аналогичным.

Пусть $H$ — точка пересечения высот (ортоцентр) треугольника $ABC$. Поскольку треугольник $ABC$ остроугольный, ортоцентр $H$ лежит внутри треугольника. Для того чтобы доказать, что $AA_1$ — биссектриса угла $\angle B_1A_1C_1$, нам нужно показать, что $\angle B_1A_1A = \angle C_1A_1A$. Так как точка $H$ лежит на отрезке $AA_1$, это эквивалентно доказательству равенства $\angle B_1A_1H = \angle C_1A_1H$.

1. Рассмотрим четырёхугольник $C_1HA_1B$.
По определению высоты, $CC_1 \perp AB$ и $AA_1 \perp BC$. Следовательно, $\angle HC_1B = 90^\circ$ и $\angle HA_1B = 90^\circ$. Сумма углов $\angle HC_1B + \angle HA_1B = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это означает, что вокруг четырёхугольника $C_1HA_1B$ можно описать окружность (он является вписанным).

2. В вписанном четырёхугольнике углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle C_1A_1H$ и $\angle C_1BH$ опираются на дугу $C_1H$. Следовательно, $\angle C_1A_1H = \angle C_1BH$.
Угол $\angle C_1BH$ — это тот же угол, что и $\angle ABB_1$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABB_1$ (с прямым углом при $B_1$) имеем: $\angle ABB_1 = 90^\circ - \angle BAB_1 = 90^\circ - \angle A$.
Таким образом, $\angle C_1A_1H = 90^\circ - \angle A$.

3. Рассмотрим четырёхугольник $B_1HA_1C$.
По определению высоты, $BB_1 \perp AC$ и $AA_1 \perp BC$. Следовательно, $\angle HB_1C = 90^\circ$ и $\angle HA_1C = 90^\circ$. Сумма углов $\angle HB_1C + \angle HA_1C = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это означает, что четырёхугольник $B_1HA_1C$ также является вписанным.

4. В вписанном четырёхугольнике $B_1HA_1C$ углы $\angle B_1A_1H$ и $\angle B_1CH$ опираются на одну и ту же дугу $B_1H$. Следовательно, $\angle B_1A_1H = \angle B_1CH$.
Угол $\angle B_1CH$ — это тот же угол, что и $\angle ACC_1$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ACC_1$ (с прямым углом при $C_1$) имеем: $\angle ACC_1 = 90^\circ - \angle CAC_1 = 90^\circ - \angle A$.
Таким образом, $\angle B_1A_1H = 90^\circ - \angle A$.

5. Из пунктов 2 и 4 следует, что $\angle C_1A_1H = 90^\circ - \angle A$ и $\angle B_1A_1H = 90^\circ - \angle A$. Значит, $\angle C_1A_1H = \angle B_1A_1H$, что и означает, что отрезок $A_1H$, который является частью высоты $AA_1$, делит угол $\angle B_1A_1C_1$ пополам.

Таким образом, мы доказали, что высота $AA_1$ является биссектрисой угла $\angle B_1A_1C_1$ ортотреугольника.

Аналогично, рассматривая другие пары вписанных четырёхугольников ($A_1HB_1C$ и $C_1HA_1B$ уже есть, нужны $A_1HC_1B$ и $B_1HC_1A$), можно доказать, что высота $BB_1$ является биссектрисой угла $\angle A_1B_1C_1$, а высота $CC_1$ является биссектрисой угла $\angle A_1C_1B_1$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.